古典概型和概率的基本性质教学设计

课题

10.1.2 古典概型和概率的基本性质

单元

第十单元

学科

数学

年级

高一

教材分析

本节内容是在小学和初中学习的基础上，研究和总结古典概型，同时针对事件的关系进一步学习概率的基本性质，数字化的理解事件之间的关系。

教学目标与核心素养

1.数学抽象：利用生活实例判断并得出古典概型的概念和概率的基本性质；

2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

3.数学建模：掌握古典概型和概率的基本性质；

4.直观想象：计算和判断事件的概率；

5.数学运算:能够正确判断古典概型，计算事件的概率；

6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点

古典概型，概率的基本性质

难点

古典概型，概率的基本性质

教学过程

导入新课

问题导入：

问题一：我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们有哪些共同特征？

发现它们有以下共同特征：

1、有限性：样本空间的样本点只有有限个；

2、等可能性：每个样本点发生的可能性相等。

学生利用问题情景，引出本节新课内容——古典概型。

设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。

讲授新课

新知讲授（一）——古典概型

对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率。

我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。

即具有以下两个特征：

1、有限性：样本空间的样本点只有有限个；

2、等可能性：每个样本点发生的可能性相等。

思考一：下面的随机试验是不是古典概型？

（1）一个班级中有18名男生、22名女生。采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”

（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”

（1）班级中共有40名学生，从中选择一名学生，即样本点是有限个；因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，因此这是一个古典概型。

（2）我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={（1，1，1），（1，1，0），（1，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（0，1，0），（0，0，1），（0，0，0）}，共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型。

小试牛刀

1、某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、...、命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？

解：不是古典概型。

因为试验的结果只有7个，但命中10环、命中9环、...、命中5环和不中环这些结果的出现不是等可能的。

方法总结：判断一个试验是不是古典概型抓住两个要点：一是结果有限性；而是结果等可能性。

2、从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”

是古典概型吗？

解：不是古典概型。

因为这个试验有无数个基本事件，不满足结果有限性。

思考二：如何度量事件A发生的可能性大小？

随机试验：一个班级中有18名男生、22名女生。采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”

抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小。

因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量。

则事件A的可能性大小为18/40=9/20.

思考三：如何度量事件B发生的可能性大小？

随机试验：抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”

事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小。

因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量。

因为B={（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）}

所以事件B发生的可能性大小为3/8.

古典概型的概率计算公式：

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

例1、单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？

解：试验有选A、选B、选C、选D共四种可能结果，

试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}

考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型。

设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，则n(M)=1

所以，考生随机选择一个答案，答对的概率

思考四：在标准化考试中也有多选题，多选题是从A,B,C,D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有一个选项是正确的）。你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？

在多选题中，基本事件为15个(A),(B),(C),(D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(A,B,C,D),假设该考生不会做，在他答对任何答案是等可能的情况下，他答对的概率是1/15，比单选题答对的概率1/4小得多，所以多选题更难答对。

例2、抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果。

（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；

（2）求下列事件的概率：

A=“两个点数之和5”

B=“两个点数相等”

C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”

解：（1）抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成抛掷两枚骰子试验的一个结果。

用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组（m,n）表示这个试验的一个样本点。

因此，该试验的样本空间Ω={（m,n）|m,n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点。

由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型。

（2）因为A={（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）}所以n(A)=4，

因为B={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所以n(B)=6，

因为C={（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5）}所以n(C)=15，

思考五：在例2中，为什么要把两枚骰子标上记号？你能解释其中原因吗?

如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点。

这样，（1，2）和（2，1）的结果将无法区别。

思考六：如果不标记号，会出现什么情况？你能解释其中原因吗

思考七：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？

我们可以发现，36个结果都是等可能的；

而合并为21个可能结果时，（1，1），（1，2）发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，

所以不能用古典概型公式计算概率，

例3、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：

（1）A=“第一次摸到红球”

（2）B=“第二次摸到红球”

（3）AB=“两次都摸到红球”

解：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5.

第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能结果。

将两次摸球的结果配对，组成20种等可能结果。用10.1-2表示。

（1）第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2行），

即A=｛（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5）｝

（2）第二次摸到红球的可能结果有8种（表中第1，2列），

即B=｛（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）｝

（3）事件AB包含2个可能结果，

即AB=｛（1，2）,（2，1）｝

例4、从两名男生（记为B1和B2）、两名女生（记为G1和G2）中任意抽取两人。

（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间。

（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率。

解：设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人即为x2,则可用数组（x1,x2）表示样本点。

（1）根据相应的抽样方法可知：

有放回简单随机抽样的样本空间为

Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}

不放回简单随机抽样的样本空间为

Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}

按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间 Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2}

（2）设事件A=“抽到两名男生”，则

对于有放回简单随机抽样A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}

因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型。

对于不放回简单随机抽样，A={(B1,B2),(B2,B1)}

因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型。

因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A=Φ因此P(A)=0.

思考九：通过例4，对于不同的抽样方法有什么区别？

例4表明，同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率，在按性别等比例分层抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大。

因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同。

归纳总结

求解古典概型问题的一般思路：

(1)确定等可能样本点总数n；

(2)确定所求事件包含的样本点数m；

(3)P(A)＝m/n

2．使用古典概型概率公式的注意点

(1)首先确定是否为古典概型；

(2)A事件是什么，包含的样本点有哪些．

3.样本点的两个探求方法

(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．

(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．

小试牛刀

一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球，从中一次摸出两个球。

⑴问共有多少个基本事件；

⑵求摸出两个球都是红球的概率；

⑶求摸出的两个球都是黄球的概率；

⑷求摸出的两个球一红一黄的概率.

解：（1）分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号为6、7、8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件：

共有28个等可能事件。

新知探究（二）——概率的基本性质

思考十：从以下试验你发现概率具有哪些特点？

试验1：一个星期有7天；

试验2：4月份有31天；

试验3：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的事件。

由以上试验可知：

任何事件的概率都是非负的；

在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生。

那么，我们可以得到概率具有以下2个性质：

概率的基本性质

性质1 对任意的事件A，都有 P(A)≥0;

(概率的非负性)

性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，（即P(Ω)=1，P(Φ)=0）

思考十一：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球。设事件R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”互斥，RUG=“两次摸到的球颜色相同”。那么。事件R、G、RUG的概率是多少呢？

思考十二：事件R与G有什么关系？它们的概率又有怎样的关系？

事件R与事件G互斥，

即R与G不含有相同的样本点，

所以n（RUG）=n(R)+n(G),这等价于P（RUG）=P(R)+P(G)，

即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和。

所以我们有互斥事件的概率加法公式。

那么，我们可以得到概率具有以下2个性质：

概率的基本性质

性质3 如果事件A与事件B互斥，

那么P（AUB）=P(A)+P(B)

思考十三：互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件吗？

如果事件A1，A2，A3，...,Am两两互斥，

那么事件A1UA2UA3U...UAm发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，

即P(A1UA2UA3U...UAm)=P(A1)+P(A2)+...+P(Am)

思考十四：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“正面朝上为偶数”，B=“正面朝上为奇数”，事件A与事件B是什么关系？它们的概率有什么关系？

事件A和事件B互为对立事件，

所以和事件AUB为必然事件，即P(AUB)=1。

由性质3得 1=P(AUB)=P(A)+P(B).

思考十四：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“正面朝上为偶数”，B=“正面朝上为奇数”，事件A与事件B是什么关系？它们的概率有什么关系？

事件A和事件B互为对立事件，

所以和事件AUB为必然事件，即P(AUB)=1。

由性质3得 1=P(AUB)=P(A)+P(B).

思考十五：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“正面朝上为偶数”，B=“正面朝上为2”，事件A与事件B是什么关系？它们的概率有什么关系？

那么，我们可以得到概率具有以下1个性质：

概率的基本性质

性质5 如果事件A B，那么P（A）≤P(B)。

由性质5可得：对于任意事件A，因为Φ A Ω, 所以0≤P(A)≤1.

思考十六：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球。”两个球中有红球”=R1UR2，那么P(R1UR2)和P(R1)+P(R2)相等吗？如果不相等，请说明原因，并思考如何计算P(R1UR2)。

因为n(Ω)=12,n(R1)=n(R2)=6,n(R1UR2)=10,所以P(R1)=P(R2)=0.5，P(R1UR2)=0.12.

因此P(R1UR2)≠P(R1)+P(R2)。

这是因为R1∩R2={（1，2），（2，1）}≠Φ，

即事件R1、R2不是互斥的。

易得：P(R1UR2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2).

那么，我们可以得到概率具有以下1个性质：

概率的基本性质

性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

显然，性质3是性质6的特殊情况。

归纳总结——概率的基本性质

例5、从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=1/4，那么

(1)C=“抽到红花色”，求P(C);

(2)D=“抽到黑花色”，求P(D)。

解：(1)因为C=AUB，且A与B不会同时发生，

所以A与B是互斥事件。

则P(C)=P(A)+P(B)=1/4+1/4=1/2.

(2)因为C与D互斥，又因为CUD是必然事件，

所以C与D互为对立事件.

则P(D)=1-P(C)=1-1/2=1/2.

例6、为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽取2罐，能中奖的概率为多少？

我们借助树状图（图10.1-11）来求相应事件的样本点数。

小试牛刀

1、某同学军训时打靶一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3、0.3、0.3，那么他射击一次不够8环的概率是

解：设击中10环、9环、8环的事件分别是A、B、C，不够8环的事件为D，

则事件A、B、C两两互斥，

则P(D)=1-P(AUBUC)=1-P(A)-P(B)-P(C)

=1-0.3-0.3-0.2=0.2

2、同时抛掷两枚色子，既不出现5点也不出现6点的概率为4/9,则5点或6点至少出现一个的概率是

解：设既不出现5点也不出现6点为事件A，5点或6点至少有一个为事件B，则P（A）=4/9,

因为A∩B=Φ,所以A与B是对立事件，

则P(B)=1-P(A)=1-4/9=5/9

故 5点或6点至少有一个的概率为5/9.

3、在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51，在70~79的概率是0.15，在60~69的概率是0.09，60分以下的概率是0.07，计算下列事件的概率：

（1）小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；

（2）小明考试及格的概率.

解：分别记小明成绩”在90分以上““在80~89分”“在70~79分”“在60~69分”“60分以下”为事件B、C、D、E、A，这五个事件彼此互斥。

（1）小明的成绩在80分以上的概率是

P(BUC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69

（2）方法一：小明考试及格的概率是

P(BUCUDUE)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.19=0.93.

方法二：小明考试不及格的概率是0.07，小明考试不及格和考试及格互为对立事件

所以小明考试及格的概率是P(A)=1-0.07=0.93.

学生根据上述问题，探究古典概型的定义。

学生分组合作，探究得出古典概型的可能性大小的计算。

学生通过例题加强理解古典概型。

设置一连串的思考题，让学生对古典概型及其概率计算进一步进行探索。

通过一连串的思考题，探索概率的6个基本性质。

总结、巩固概率的基本性质。

学生和教师一起探究完成例题。

学生完成3个练习题，加深学生对概率的基本性质的理解。

利用问题情境探究得出古典概型的定义,培养学生探索的精神。

通过分组合作交流，培养学生合作的精神和探索的能力。

利用例题更进一步的理解巩固本节课的内容。

利用思考题让学生继续探究古典概型，让学生形成知识体系，培养学生整体思考的能力。

通过这6个思考题，培养学生探索知识的能力，提高学生分析问题的能力。

培养学生总结知识的能力。

通过例题，加深学生对概率的基本性质的理解。

理论联系实际，无论是哪部分知识点，都是来源于生活的实际问题，让学生体会数学来源于生活。