有限样本空间与随机事件事件的关系与运算 教学设计

课题

10.1.1 有限样本空间与随机事件事件的关系与运算

单元

第十单元

学科

数学

年级

高一

教材分析

本节内容是在小学和初中学习的基础上，更进一步的研究随机事件即样本空间，从而为概率做准备。

教学目标与核心素养

1.数学抽象：利用生活实例判断并得出事件的关系；

2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.

3.数学建模：掌握样本空间、事件的关系和运算；

4.直观想象：计算和判断事件的关系和运算；

5.数学运算:能够正确写出样本空间，判断得出事件的关系和运算；

6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

重点

样本空间，事件的关系和运算

难点

样本空间，事件的关系和运算

教学过程

导入新课

问题导入：

问题一：观察下列事件，你能发现什么特点？

（1）将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；

（2）从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视眼人数；

（3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；

（4）记录某地区7月份的降雨量.

（1）在相同条件下可以重复进行；

（2）所有可能结果是明确可知的，并且不止一个。

学生利用问题情景，引出本节新课内容——随机试验。

设置问题情境，回顾上节课知识点，同时激发学生学习兴趣，培养学生严谨的逻辑思维能力，并引出本节新课。

讲授新课

新知讲授（一）——随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示。

我们通常研究以下特点的随机试验：

（1）试验可以在相同条件下重复进行；

（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不确定出现哪个结果。

新知讲授（二）——样本空间

思考一：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，...，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码。这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？

根据球的号码，共有10种可能结果。

如果用m表示“摇出的球的号码为m”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间。

一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点。

（在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况。）

例1、抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。

解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，

所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上}

如果用h表示“正面朝上”，用t表示“反面朝上”，

则样本空间Ω={h，t}

例2、抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.

解：用i表示朝上面的“点数为i”.

由于落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6，共6个可能的基本结果，

所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4，5，6}.

例3、抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

解：抛两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用

（x,y）表示.

所以试验的样本空间Ω={（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}.

如果用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，

所以试验的样本空间Ω={（1，1），（1，0），（0，1），（0，0）}.

接下来我们用树状图再次理解一下解答过程（图10.1—1）。

试验的样本空间的表示方法：

（1）用树状图表示试验结果；

（2）用集合表示（列举法）。

小试牛刀

某运动员射击打靶，观察它中靶的环数，写出试验的样本空间.

解：用i表示朝上面的“环数为i”.

由于环数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10共11个可能的基本结果，

所以试验的样本空间可以表示为Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.

新知讲授（三）——随机事件

思考二：在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？

“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件。

思考三：如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？

用A表示随机事件“球的号码为奇数”，

则A发生，当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，

即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}。

因此，可以用样本空间Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示随机事件A.

同理，可以用样本空间的子集{0，3，6，9}表示随机事件“球的号码为3的倍数”.

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示。

为了描述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。

随机事件一般用大写字母A,B,C,...表示。

在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。

Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件。

而空集Φ不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称Φ为不可能事件。

必然事件与不可能事件不具有随机性。

为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。

每个事件都是样本空间Ω的一个子集。

思考四：事件有哪些分类？

例4、如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效。把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常。

（1）写出试验的样本空间；

（2）用集合表示下列事件：

M=“恰好两个元件正常”

N=“电路是通路”

T=“电路是断路”

解：（1）分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态，

则这个电路的工作状态可用（x1,x2，x3)表示.

同时，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，

则样本空间Ω={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}

用树状图将所有的可能结果表示如下（如图10.1-3）

（2）“恰好两个元件正常”等价于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1,x2，x3中恰有两个为1,

所以M={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}

“电路是通路”等价于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1=1，x2，x3中至少有一个是1,

所以N={（1，1，0），（1，0，1），（1，1，1）}

同理，“电路是断路”等价于（x1,x2，x3)∈Ω，x1=0，或x1=1,x2=x3=0

所以T={（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，0，0）}

小试牛刀

1、判断下列事件的类型？

（1）掷一枚硬币，出现正面

（2）某地12月12日下雨

（3）如果a>b,那么a-b>0

（4）明天是星期八

解：（1）随机事件（2）随机事件

（3）必然事件（4）不可能事件

2、抛掷三枚硬币，可能“正面朝上“，也可能”反面朝上“。把抛掷三枚硬币朝上的情况看成是一个随机现象，观察这个现象中朝上的可能性。

（1）写出试验的样本空间；

（2）用集合表示下列事件：

M=“恰好两个正面朝上”

N=“最多一个正面朝上”

解：（1）分别用x1,x2和x3表示每一枚硬币的可能状态，

则这个随机事件的结果可用（x1,x2，x3)表示.

同时，用1表示”正面朝上“，用0表示“反面朝上”，

则样本空间Ω={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}

解：（2）“恰好两个正面朝上”等价于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1,x2，x3中恰有两个为1,

所以M={（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}

“最多一个正面朝上”等价于（x1,x2，x3)∈Ω，且x1，x2，x3中至多有一个是1,

所以N={（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），

（0，0，1）}

新知讲授（四）：事件的关系和运算

在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，如：

Ci=“点数为i ”，i=1，2，3，4，5，6；

D1=“点数不大于3”； D2=“点数大于3”；

E1=“点数为1或2”; E2=”点数为2或3“;

F=“点数为偶数”； G=“点数为奇数”；

你能用集合的形式表示这些事件，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

思考一：用集合的形式表示事件C1=“点数为1 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

由已知得：C1={1}和G={1，3，5}

显然，如果事件C1发生，那么事件G一定发生。

用集合表示就是

也就是说，事件G包含事件C1.

一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，

我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作（如下图10.1-4所示）

特别地，如果事件B包含事件A，事件A

则称事件A与事件B相等，记作A=B.

思考二：用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3 ”、事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

由已知得：D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}

显然，事件E1和事件E2至少有一个发生，相当于事件D1发生。

用集合表示就是

这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件。

一般地，若事件A和事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，

我们就称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），

记作

（如下图10.1-5所示：绿色区域和黄色区域表示这个并事件）

思考三：用集合的形式表示事件C2=“点数为2 ”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

由已知得：事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”同时发生，相当于事件C2发生。

用集合表示就是

这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件。

一般地，若事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，

我们就称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），

记作

（如下图10.1-6所示的蓝色区域）

思考四：用集合的形式表示事件C3=“点数为3 ”和事件C4=“点数为4”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

由已知得：事件C3={3}，事件C4={4}

显然，事件C3与事件C4不可能同时发生。

即

这时我们称事件C3与事件C4互斥。

一般地，若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Φ

我们就称事件A与事件B互斥（或互不相容）

（如下图10.1-7所示）

思考五：用集合的形式表示事件F=“点数为偶数 ”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

在任何一次试验中，事件F与事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一。

用集合可以表示为{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G=Ω，且{2，4，6}∩{1，3，5}=Φ，即F∩G=Φ

我们称事件F与事件G互为对立事件。事件D1与D2也有这种关系。

一般地，若事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Φ,

我们就称事件A与事件B互为对立。

事件A的对立事件记作

（如下图10.1-8所示）

思考六：你能根据思考一至思考五，你能总结这些事件之间的关系吗？

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。

例如，对于三个事件A,B,C,A∪B∪C（或A+B+C）发生当且仅当A,B,C中至少一个发生，A∩B∩C（或ABC）发生当且仅当A,B,C同时发生，等等。

例5、如图10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效。设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”。

（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；

（2）用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；

（3）用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，并说明它们的含义及关系。

解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态，

则可以用（x1,x2)表示这个并联电路的状态。

以1表示元件正常，0表示元件失效，

则样本空间Ω={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}

（2）根据题意，可得

例6、一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球。设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N“两个球颜色不同”。

（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

（2）事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？

（3）事件R与G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与R2的交事件与事件R有什么关系？

解：（1）所有的试验结果如图10.1.-10所示。

用数组（x1,x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，

则试验的样本空间

Ω={（1，2），（1，3），（1，4），

（2，1），（2，3），（2，4），

（3，1），（3，2），（3，4），

（4，1），（4，2），（4，3）}

事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2

于是R1={（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3）}

事件R2=“第二次摸到红球”，即x2=1或2

于是R2={（2，1），（3，1），（4，1），（1，2），（3，2），（4，2）}

同理，有于是R={（1，2），（2，1）},G={（3，4），（4，3）}，M={（1，2），（2，1）,(3，4),(4，3)}

N={（1，3），（1，4）,(2，3),(2，4)，(3，1),(3，2),(4，1),(4，2)}

小试牛刀

1、在某次考试成绩中（满分为100分），下列事件的关系是什么？

① A1={70分～80分}，A2={70分以上} ；

② B1={不及格}，B2={60分以下} ；

③ C1={95分以上}，C2={90分～95分}；

④ D1={80分～100分}，D2={0分～80分}。

解：①A2包含A1 ②相等

③互斥 ④对立

2、判断下面给出的每对事件是否是互斥事件或互为对立事件。

从40张扑克牌（四种花色从1~10 各10 张）中任取一张

①“抽出红桃”和“抽出黑桃”

②“抽出红色牌”和“抽出黑色牌”

③“抽出的牌点数为5的倍数”和“抽出的牌点数大于9”

解：①互斥但不对立

②对立

③既不互斥也不对立

3、从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

解：（1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”互斥但不对立；因为抽出红桃和抽出黑桃不会同时发生，即互斥；但除了红桃和黑桃还有方块和梅花，即不对立。

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”对立；因为红色牌和黑色牌不可能同时抽取到，而且只有红色和黑色两种颜色的牌，所以对立。

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”既不互斥也不对立；如果抽出的牌是10，既满足大于9又满足是5的倍数，也就是说可以同时发生，所以既不互斥也不对立。

学生根据上述问题，探究随机试验。

根据上述推断得出样本空间。

利用例题巩固样本空间相关知识点。

学生分组合作，探究得出随机事件。

通过例题加强理解事件的分类。

利用练习题，让学生对事件类型进一步进行探索。

探索事件的关系和运算。

总结、巩固事件的关系和运算。

通过例题和练习题，加深学生对事件的关系和运算的理解。

利用练习题让学生巩固本节课的问题。

利用问题情境探究得出随机试验,培养学生探索的精神.

给学生养成先推倒后总结的学习习惯。

利用例题巩固相关知识点，引导学生养成学练考的习惯。

通过分组合作交流，培养学生合作的精神和探索的能力。

利用例题加深本节课的内容。

利用练习题让学生探究本节课的问题，让学生形成知识体系，培养学生整体思考的能力。

培养学生探索知识的能力。

培养学生总结知识的能力。

理论联系实际，无论是哪部分知识点，都是来源于生活的实际问题，让学生体会数学来源于生活。

利用练习题让学生巩固本节课的知识点，让学生形成知识体系，培养学生整体思考的能力。