二分法求方程的近似解教学设计（1）

课程目标

学科素养

1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．

2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．

3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．

a.数学抽象：二分法的概念；

b.逻辑推理：运用二分法求近似解的原理；

c.数学运算：运用二分法求具体方程的近似解；

d.直观想象：运用函数图像理解二分法的原理；

e.数学建模：体会二分法中的算法思想；

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）创设问题情境

1．函数的零点:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）

2、零点存在判定法则

提出问题 我们已经知道，函数在区间（２，３）

内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？

（二）问题探究

一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间（２，３）的中点2.5，用计算工具算得f（ 2.5 ）≈－0.084．因为f（ 2.5 ）f（３）＜０，所以零点在区间（ 2.5 ，３）内．

再取区间（ 2.5 ，３）的中点2.75 ，用计算工具算得f（ 2.75 ≈0.512．因为f（ 2.5 ）f（ 2.75 ）＜０，所以零点在区间（ 2.5 ， 2.75 ）内．

由于（２，３）（2.5，３） （2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．

概念解析：1．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)_f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？

连续不断；f(a)f(b)<0；一分为二；零点

[提示] 二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．

2．二分法求函数零点近似值的步骤

f(a)f(b)<0；f(c)=0；b=c；(a，c)；f(c)f(b)<0；(c，b)；|a－b|<ε

1．思考辨析

(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )

(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )

(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，

零点必定在右侧区间内．( )

[答案] (1) (2) (3)

2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )

A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001

C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001

B [据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．]

3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．

x3 [∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]

4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.

例1.借助信息技术，用二分法求方程+3x=７的近似解（精确度为0.1）．

解：原方程即+3x=７，令+3x-７，用信息技术画出函数的图象并列出它的对应值表;

观察图或表，可知f（１）f（２）＜０，说明该函数在区间（１，２）内存在零点．取区间（１，２）的中点＝１．５，用信息技术算得f（1.5）≈0.33．因为f（１）f（1.5）＜０，所以∈（１，1.5）． 再取区间（１，1.5）的中点＝1.25，用信息技术算得f（1.25）≈－0.87．因为f（1.25）f（1.5）＜０，所以∈（1.25，1.5）．同理可得，∈（1.375，1.5），∈（ 1.375 ， 1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1，

所以，原方程的近似解可取为1.375 ．

口 诀：周而复始怎么办? 精确度上来判断.定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.

通过零点和零点判定定理的回顾，提出新的问题，提出运用函数求解方程近似解的思路；培养和发展逻辑推理和数学抽象、直观想象的核心素养。

通过特殊的方程求解问题的探究，推广一般的方程求解问题的方法，即二分法，；发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

通过对二分法概念的辨析，发展学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养；