椭圆的简单几何性质（1）教学设计

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。

二、探究新知

观察椭圆（>>0 ）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？

思考1. 离心率对椭圆扁圆程度的影响?

提示:如图所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=,记e=,则0

椭圆的几何性质

1.判断

(1)椭圆=1(a>b>0)的长轴长是a.( )

(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为=1.( )

(3)设F为椭圆=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).( )

答案:(1) (2) (3)√

2.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )

解析:∵a2=4+22=8,∴a=2.∴e=.故选C.

答案:C

三、典例解析

例1已知椭圆C1:=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.

(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;

(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.

解:(1)由椭圆C1:=1,可得其半长轴长为10,半短轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=.

(2)椭圆C2:=1.性质如下:

①范围:-8≤x≤8且-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤离心率:e=.

讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a2-b2=c2这一核心关系式.

跟踪训练1 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

解:由已知得=1(m>0),因为0

所以椭圆的焦点在x轴上,并且半长轴长a=,

半短轴长b=,半焦距c=,

所以椭圆的长轴长2a=,短轴长2b=,

焦点坐标为,

顶点坐标为,

离心率e=.

例2 椭圆=1(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 .

解析:方法一:如图,∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,

∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,

∴|NF1|=c.

由椭圆的定义可知|NF1|+|NF2|=2a,

∴c+c=2a,∴a=.

∴e=-1.

方法二:注意到焦点三角形NF1F2中,∠NF1F2=30,∠NF2F1=60,∠F1NF2=90,则由离心率的焦点三角形公式,可得e=-1.

答案:-1

变式1 若例2改为如下:椭圆=1(a>b>0)的两焦点F1,F2,以F1F2为底边作等腰直角三角形,其三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,则椭圆的离心率为 .

解析:根据等腰直角三角形的特征可知a2+a2=4c2,即=e=.

答案:

例3 已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为 .

解析:由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c.因为e=,0

答案:

求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法

(3)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程(或不等式),再将方程(或不等式)两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范围).

(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b(或b,c)可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e=求解.

(2)几何法:若借助数形结合,可挖掘涉及几何图形的性质,再借助a2=b2+c2,找到a与c的关系或求出a与c,代入e=即可得到.

跟踪训练2 (1)已知椭圆=1(a>b>0)过点(1,),其离心率的取值范围是,则椭圆短轴长的最大值是( )

A.4 B.3 C. D.2

(2)设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为 .

解析:(1)由题意,可得=1,即a2=.因为a2=b2+c2,所以=3-b2,离心率的取值范围是,所以≤3-b2≤,解得b∈,所以椭圆短轴长的最大值是.

(2)由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30,

∴∠PF2x=60.∴|PF2|=2=3a-2c.

∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c,∴e=

答案:(1)C (2)

(3)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,求椭圆C的离心率.

解:由题意知A(a,0),B(0,b),

从而直线AB的方程为=1,即bx+ay-ab=0,又|F1F2|=2c,∴c.∵b2=a2-c2,∴3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2(舍去),∴e=.

通过椭圆的标准方程，运用方程与函数的思想，获得椭圆的几何性质，进而推广到一般。帮助学生进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，掌握根据椭圆的基本几何性质及其简单运用，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.已知点(3,2)在椭圆=1上,则( )

A.点(-3,-2)不在椭圆上

B.点(3,-2)不在椭圆上

C.点(-3,2)在椭圆上

D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上

解析:由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在椭圆上,故选C.

答案:C

2.设AB是椭圆=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂

线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则

|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( )

A.98a B.99a C.100a D.101a

解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为502a+|F1P50|=101a.

答案:D

3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )

解析:不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.依题意可知,△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60,∴cos 60=.即椭圆的离心率e=,故选A.

答案:A

4.已知椭圆=1左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为 .

解析:根据题意,设四边形B1F1B2F2的面积为S,

椭圆的标准方程为=1,其中a=,b=,

则c==1,

则F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,),B2(0,-),

即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=,

则S=4=4|OB1||OF1|=2.

答案:2

5.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为 cm.

解析:因为两个椭圆的扁平程度相同,所以椭圆的离心率相同,

,即.所以,所以,所以小椭圆的长轴长为20 cm.

答案:20

6.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.

解:椭圆方程可化为=1(m>0),

∵m->0,∴m>.

∴a2=m,b2=,c=.由e=,得,∴m=1.∴椭圆的标准方程为x2+=1.∴a=1,b=,c=.∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为;四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。