简单的三角恒等变换教学设计（1）

课程目标

学科素养

1．能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．

2．了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

3．体会知识之间的内在联系，培养学生的思考归纳能力，提高其思维灵活性.

a.数学抽象：公式的应用；

b.逻辑推理：公式之间的联系；

c.数学运算：运用公式求值；

d.直观想象：公式的灵活运用；

e.数学建模：运用三角公式解决实际问题；

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）创设问题情境

提出问题

学习了和 （ 差 ） 角公式 、 二倍角公式以后 ， 我们就有了进行三角恒等变换的新工具 ，从而使三角恒等变换的内容 、 思路和方法更加丰富 ．

例７ 试以表示 , ,

解：是的二倍角．在倍角公式中，以代替，以代替，

得,

所以=, ①

在倍角公式-1中，以代替，以代替，

得-1,

所以=, ②

将①②两个等式的左右两边分别相除，得=

例7的结果还可以表示为

sin＝cos＝______，tan＝__

并称为半角公式，符号由所在的象限决定。

归纳总结

因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式．这是三角恒等变换的一个重要特点．

例８ 求证：

（1）

(2)

这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？

证明：（１）因为

= +

=

将以上两式的左右两边分别相加，得

+= ①

即

（2）由（1）可得+=

设，

把，代入①，即得

如果不用（１）的结果，如何证明？

归纳总结

例８的证明用到了换元的方法．如把看作θ，看作，从而把包含的三角函数式转化为θ，的三角函数式．或者，把看作，cos看作，把等式看作， 的方程，则原问题转化为解方程（组）求．它们都体现了化归思想．

例９ 求下列函数的周期，最大值和最小值：

（１）； （２）．

分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是,利用和角公式将其展开，可化为） 的形式．反之，利用和（差）角公式，可将 转化为 的形式，进而就可以求得其周期和最值了．

解：（1）= 2（）①

=2（）=2

因此，所求周期为2，最大值为２，最小值为－２．

你能说说①这一步变形的理由吗？

（２）设 ,

则=．

于是

所以=25.

取A＝５，则, ．

由

可知，所求周期为2，最大值为5，最小值为－5

例10 如图5.5-2，已知OPQ是半径为１，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α 取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

分析:要求当角a取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行.

①找出S与a之间的函数关系;

②由得出的函数关系,求S的最大值.

解：在中,,.

在中,,

所以, ,

所以, .

设矩形的面积为,则.

对于第二步求具体值,要首先确定变量的取值范围:

由 , 得 .

所以当 , 即时,

因此,当时, 矩形的面积最大,最大面积为

注：（1）在求解最大值时，要特别注意 “”这一隐含条件;

（2）应用问题转化为数学问题，最后要回归到实际问题.

通过三角变换把形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin(wx+j)的函数,从而使问题得到简化。化归思想

通过开门见山，提出问题，利用三角解决证明问题，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。

通过对三角公式的灵活运用，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；

三、当堂达标

1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )

A． B．－ C． D．－

【解析】 由题意知∈，∴cos >0，cos ＝＝.

【答案】 C

2．已知cos α＝，α∈，则sin 等于( )

A． B．－ C． D．

【解析】 由题知∈，∴sin >0，sin ＝＝.

【答案】 A

3．已知sin α－cos α＝－，则sin 2α的值等于( )

A． B．－ C．－ D．

【解析】 由sin α－cos α＝－，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝，所以sin 2α＝－.

【答案】 C

4．函数y＝sin 2x＋cos2x的最小正周期为________．

【解析】 ∵y＝sin 2x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，

∴函数的最小正周期T＝＝π.

【答案】 π

5．求证：4sin θcos2＝2sin θ＋sin 2θ.

【证明】 法一：左边＝2sin θ2cos2＝2sin θ(1＋cos θ)

＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ＋sin 2θ＝右边，

所以原式成立．

法二：右边＝2sin θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(1＋cos θ)

＝2sin θ2cos2 ＝4sin θcos2＝左边，

所以原式成立．

6、如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？

【精彩点拨】 →→

【解答】 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，

则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α，

∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α

＝R(sin α＋cos α)＋R＝Rsin＋R.

∵0<α<，∴<α＋<，

∴l的最大值为R＋R＝(＋1)R，此时，α＋＝，即α＝，

即当α＝时，△OAB的周长最大．

通过练习巩固本节所学知识，巩固对三角公式运用，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。