离散型随机变量及其分布列(2)教学设计

课程目标

学科素养

A.理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示．

B．掌握离散型随机变量的分布列的性质．

C．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)．

1.数学抽象：离散型随机变量的分布列的概念

2.逻辑推理：离散型随机变量的分布列的性质

3.数学运算：求离散型随机变量的分布列．

4.数学建模：两点分布的概念及表示

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

1.离散型随机变量的定义

随机变量的特点: 试验之前可以判断其可能出现的所有值，在试验之前不可能确定取何值；可以用数字表示

2、随机变量的分类

①离散型随机变量:X的取值可一、一列出；

②连续型随机变量:X可以取某个区间内的一切值

随机变量将随机事件的结果数量化．

3、古典概型:

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②每个基本事件出现的可能性相等。

二、探究新知

探究1.抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？

因为X取值范围是

而且

因此X分布列如下表所示

该表不仅列出了随机变量X的所有取值而且列出了X的每一个取值的概率．

1．离散型随机变量的分布列

一般地，当离散型随机变量X的取值为x₁，x₂，…，x_n时，我们称X取每一个值x_i的概率P(X＝x_i)＝p_i, i∈{1,2，…，n}，为X的概率分布列．

离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列．

分布列的表示：函数可以用解析式、表格、图象表示。离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表格、图象表示。

解析式法：P（X=x_i）=p_i,i=1,2,3…,n

表格法：

2.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

注意：①.列出随机变量的所有可能取值；

②.求出随机变量的每一个值发生的概率.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“”)

(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数． ( )

(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． ( )

(3)随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的． ( )

[答案] (1) (2)√ (3)√

三、典例解析

例1.一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,

定义X

解：根据

两点分布列

对于只有两个可能结果的随机试验,用𝐴表示“成功”,
表示“失败”,定义

1.分布列是两点分布吗？

解析： 不是．因为X的取值不是0和1.

跟踪训练1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述一次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )

例2.某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示.

从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数𝑋的分布列以及𝑃(𝑋≥4).

解：由题意知，𝑋是一个离散型随机变量，其可能取值为1,2,3,4,5,且{𝑋=1}=“不及格”,

{𝑋=2}=“及格”,

根据古典概型的知识，

可得𝑋的分布列

例3. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台 ,B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.

解：设挑选的2台电脑中𝐴品牌的台数为𝑋,则𝑋的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识，可得𝑋的分布列,

求离散型随机变量分布列时应注意的问题

(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要清楚ξ取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率.

(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确.

跟踪训练2. 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以ξ表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量ξ的分布列.

解:随机变量ξ的可能取值为3,4,5.

当ξ=3时,即取出的三只球中最大号码为3,则其他两只球的编号只能是1,2,故有P(ξ=3)==;当ξ=4时,即取出的三只球中最大号码为4,则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只,故有P(ξ=4)==;

当ξ=5时,即取出的三只球中最大号码为5,则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只,故有P(ξ=5)==.

因此ξ的分布列为

通过知识回顾，提出问题.

通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入离散型随机变量分布列的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

让学生体会离散型随机变量与函数的关系。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过概念辨析，加深对概念的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典例解析，提升对概念精细化的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为( )

A.－0.2 B．0.2 C．0.1 D．－0.1

B [由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.]

2．设离散型随机变量X的分布列为

若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于( )

A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

A [由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.]

3．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为

则a＝________，b＝________.

;

[X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝.]

4．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________.

; [P(ξ>8)＝8＝，P(6<ξ≤14)＝8＝.]

5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．

[解] 由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，

则P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝＝；

P(ξ＝3)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；

P(ξ＝5)＝＝＝；P(ξ＝6)＝＝.

所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。