排列与排列数教学设计

课程目标

学科素养

A. 理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.

B.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.

C.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.

1.数学抽象：排列的概念

2.逻辑推理：排列数的性质

3.数学运算：运用排列数解决计数问题

4.数学建模：将计数问题转化为排列问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

两个原理的联系与区别

1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.

2.区别

问题1. 从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.

分析：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参加下午的活动”，可以分两个步骤：

第1步，确定上午的同学，从3人中任选1人，有3种选法；

第2步，确定下午的同学，只能从剩下的2人中去选，有2种选法.

根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为32=6.

问题如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题可叙述为：从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

问题2. 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？

分析：从4个数中每次取出三个按“百位、十位、个位” 的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数，可以分三个步骤解决：

第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数中任取一个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，只能从余下的3个数字中取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，只能从余下的2个数字中取，有2种方法；根据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按百位、十位、个位的顺序排成一列，不同的排列方法为432=24

因而共可得到24个不同的三位数，如图所示

同样，问题2可以归结为：

从4个不同的元素中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是

不同的排列方法为432=24

上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？

一、排列的相关概念

1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.

名师点析理解排列应注意的问题

(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.

(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.

1.下列问题中:

①10本不同的书分给10名同学,每人一本;

②10位同学互通一次电话;

③10位同学互通一封信;

④10个没有任何三点共线的点构成的线段.

属于排列的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列.

答案:B

二、典例解析

例1. 某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？

分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.

解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为

65=30.

例2. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？

（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？

分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.

解：（1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

543=60.

（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；

最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.

按分步乘法计数原理，不同的取法种数为

555=125.

二、排列数与排列数公式

1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做

从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.

2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,这里m,n∈N^*,并且m≤n.

3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)…321.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.另外,我们规定,0!=1.

问题3. 你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?

“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.

例4.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。

解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：

第1步，确定百位上的数字可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个, 有种取法；如图

根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 998648.

解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.根据分类加法计数原理,所求三位数的个数为=987+98+98=648.

解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，

即所求三位数的个数为109898648.

1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.

2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.

跟踪训练有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法?

通过引导学生回顾计数原理，进一步比较分析加深对两个计数原理得理解。

通过具体问题，分析、比较、归纳出对排列的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中让学生熟悉排列和排列数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为( )

A.5 B.10 C.20 D.60

解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有 =20(种)不同的送书方法.

答案:C

2.设m∈N^*,且m<15,则=( )

A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)

B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)

C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)

解析: 是指从20-m开始依次连续的6个数相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).

答案:C

3.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有( )

A.24种 B.144种 C.48种 D.96种

解析:第1步,先安排甲有种不同的演出顺序;第2步,安排乙和丙有种不同的演出顺序;第3步,安排剩余的三个演员有种不同的演出顺序.根据分步计数原理,共有=96(种)不同的演出顺序.故选D.

答案:D

4.有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有 种不同的种法.

解析:将4块不同土质的地看作4个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有 =8765=1 680(种).

答案:1 680

5.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.

(1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个?

(2)这些四位数中大于6 500的有多少个?

解:(1)偶数的个位数只能是2、4、6,有种排法,其他位上有种排法,由分步乘法计数原理,知共有四位偶数=360(个);能被5整除的数个位必须是5,故有=120(个).

(2)最高位上是7时大于6 500,有种,最高位上是6时,百位上只能是7或5,故有2种.由分类加法计数原理知,这些四位数中大于6 500的共有+2=160(个).

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。