圆周角和圆心角的关系教案

1．理解圆周角的概念，掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；(重点)

2．能运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算．(难点)

一、情境导入

在下图中，当球员在B, D, E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？

课件教案

二、合作探究

探究点：圆周角定理及其推论

【类型一】利用圆周角定理求角的度数

如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50，则∠C的度数是()

A．25 B．30 C．40 D．50

解析：∵OA∥DE，∠D＝50，∴∠AOD＝50.∵∠C＝∠AOD，∴∠C＝50＝25.故选A.

方法总结：解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】利用圆周角定理的推论求角的度数

如图，在⊙O中，＝，∠A＝30，则∠B＝()

A．150 B．75

C．60 D．15

解析：因为＝，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B＝∠C，因为∠A＋∠B＋∠C＝180，所以∠A＋2∠B＝180，又因为∠A＝30，所以30＋2∠B＝180，解得∠B＝75.故选B.

方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型三】圆周角定理与垂径定理的综合

如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上．

(1)∠AOD＝52，求∠DEB的度数；

(2)若AC＝，CD＝1，求⊙O的半径．

解析：(1)由OD⊥AB，根据垂径定理的推论可求得＝，再由圆周角定理及其推论求∠DEB的度数；(2)首先设⊙O的半径为x，然后由勾股定理得到方程解答．

解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴＝，∴∠DEB＝∠AOD＝52＝26；

(2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1.∵OC2＋AC2＝OA2，∴(x－1)2＋()2＝x2，解得x＝4，∴⊙O的半径为4.

方法总结：本题综合考查了圆周角定理及其推论、垂径定理以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型四】圆周角定理的推论与圆心角、弧、弦之间的关系的综合

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是的中点，求证：∠B＝∠BEC.

解析：由点B是的中点，得∠BCE＝∠BAC，即可得∠BEC＝∠ACB，然后由等腰三角形的性质，证得结论．

证明：∵B是的中点，∴＝，∴∠BCE＝∠BAC.∵∠BEC＝180－∠B－∠BCE，∠ACB＝180－∠BAC－∠B，∴∠BEC＝∠ACB.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BEC.

方法总结：此题考查了圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质．解答时一定要结合图形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

【类型五】圆周角定理的推论与三角形知识的综合

如图，A、P、B、C是⊙O上四点，且∠APC＝∠CPB＝60.连接AB、BC、AC.

(1)试判断△ABC的形状，并给予证明；

(2)求证：CP＝BP＋AP.

解析：(1)利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60，所以∠BAC＝∠ABC＝60，从而可判断△ABC的形状；(2)在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得．

(1)解：△ABC是等边三角形．证明如下：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60，∴∠ABC＝∠BAC＝60，∴△ABC为等边三角形；

(2)证明：在PC上截取PD＝AP，连接AD.又∵∠APC＝60，∴△APD是等边三角形，∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60，即∠ADC＝120.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC(AAS)，∴BP＝CD.又∵PD＝AP，∴CP＝BP＋AP.

方法总结：本题考查了圆周角定理的理论以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．

【类型六】圆周角定理的推论与相似三角形的综合

如图，点E是的中点，点A在⊙O上，AE交BC于D.求证：BE2＝AEDE.