直线和圆的位置关系及切线的性质教案

1．理解直线和圆的相交、相切、相离三种位置关系；(重点)

2．掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法； (难点)

3．掌握切线的性质定理，会用切线的性质解决问题．(重点)

一、情境导入

在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？

二、合作探究

探究点一：直线和圆的位置关系

【类型一】判定直线和圆的位置关系

已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为()

A．相切 B．相交

C．相切或相离 D．相切或相交

解析：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3，则直线和圆相交、相切都有可能．故选D.

方法总结：判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的3不一定是圆心到直线的距离．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型二】根据直线和圆的位置关系，求线段的长或取值范围

在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，CD⊥AB于点D，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于()

A．2cm B．2cm

C．2cm D．4cm

解析：如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．

∵以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，∴CD＝2cm.∵∠B＝45，∴CD＝BD＝2cm，∴BC＝＝＝2(cm)．故选B.

方法总结：解决问题的关键是根据题意画出图形，利用直线和圆的三种位置关系解答．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型三】在平面直角坐标系中，解决直线和圆的位置关系的问题

如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P(x，0)，且满足直线AB与x轴正方向夹角为45，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是()

A．－1≤x≤1 B．－＜x＜

C．0≤x≤ D．－≤x≤

解析：当直线AB与⊙O相切且与x轴正半轴相交时，设切点为C，连接OC.∵直线AB与x轴正方向夹角为45，∴△POC是等腰直角三角形．∵⊙O的半径为1，∴OC＝PC＝1，∴OP＝＝，∴点P的坐标为(，0)．同理可得，当直线AB与x轴负半轴相交时，点P的坐标为(－，0)，∴x的取值范围为－≤x≤.故选D.

方法总结：解决本题要熟知直线和圆的三种位置关系，关键是有公共点的情况不要遗漏．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

探究点二：切线的性质

【类型一】利用切线的性质求线段长

如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB＝2，PA切⊙O于A点，PA＝4.求⊙O的半径．

解析：设圆的半径是x，利用勾股定理可得关于x的方程，求出x的值．

解：如图，连接OA，∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA.设OA＝x，∴OP＝x＋2.在Rt△OPA中，x2＋42＝(x＋2)2，∴x＝3，∴⊙O的半径为3.

方法总结：运用切线的性质来进行计算或证明时，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题

【类型二】圆的切线与相似三角形的综合

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E，连接CD.

(1)求证：点E是边BC的中点；

(2)求证：BC2＝BDBA；

(3)当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．

解析：(1)利用切线的性质及圆周角定理证明；(2)利用相似三角形证明；(3)利用正方形的性质证明．

证明：(1)如图，连接OD.∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90.∵∠ACB＝90，∴∠ECD＋∠OCD＝90.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90，∴∠BDE＋∠EDC＝90，∠B＋∠ECD＝90，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝BE.∴EB＝EC，即点E为边BC的中点；

(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴＝，∴BC2＝BDBA；

(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45.∵AC为直径，∴∠ADC＝90，∴∠CAD＝180－∠ADC－∠OCD＝180－90－45＝45，∴Rt△ABC为等腰直角三角形．

方法总结：本题的综合性比较强，但难度不大，解决问题的关键是综合运用学过的知识解答．另外，连接圆心和切点，构造直角三角形也是解题的关键．

【类型三】圆的切线与三角函数的综合

如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F点．

(1)求证：∠ABC＝∠F；

(2)若sinC＝，DF＝6，求⊙O的半径．

解析：(1)由切线的性质得AB⊥BF，因为CD⊥AB，所以CD∥BF，由平行线的性质得∠ADC＝∠F，由圆周角定理的推论得∠ABC＝∠ADC，于是证得∠ABC＝∠F；(2)连接BD.由直径所对的圆周角是直角得∠ADB＝90，因为∠ABF＝90，然后运用解直角三角形解答．

(1)证明：∵BF为⊙O的切线，∴AB⊥BF.∵CD⊥AB，∴∠ABF＝∠AHD＝90，∴CD∥BF.∴∠ADC＝∠F.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠F；