条件概率教学设计

课程目标

学科素养

A.通过实例,了解条件概率的概念；

B.掌握求条件概率的两种方法；

C.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；

D.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.

1.数学抽象：条件概率的概念

2.逻辑推理：条件概率公式的推导

3.数学运算：运用条件概率公式计算概率

4.数学建模：将相关问题转化为条件概率

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A与B同时发生（积事件AB）的概率的问题，当事件A与B相互独立时,有

如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.

二、新知探究

问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示，

在班级里随机选一人做代表，

（1）选到男生的概率是多大？

（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？

随机选择一人作代表，则样本空间𝛀包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”， B表示事件“选到男生” ，根据表中的数据可以得出

（1）根据古典概型知识可知选到男生的概率

P(B)

（2）“在选择团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A）.此时相当以A为样本空间来考虑B发生概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含了样本点数根据古典概型知识可知：P（B|A）
问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么
（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？
（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？

观察两个小孩的性别，用b表示男孩，g表示女孩,则样本空间且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择家庭中有女孩” ，B表示事件“选择家庭中两个孩子都是女孩” ，A B

（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率

P(B)

（2）“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率就是在“事件A发生的条件下，事件B发生” 的概率，记为P（B|A），此时A成为样本空间，事件B就是积事件AB，根据古典概型知识可知

P（B|A）

分析：求P（B|A）的一般思想

因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的样本空间为A.因为在事件A发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，

即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率

P（B|A）

为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有

P（B|A）

一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A),

而且P(B|A)=.

问题1. 如何判断条件概率?

题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.

问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么?

P(B|A)表示在事件A发生的条件下,B发生的概率.

P(A|B)表示在事件B发生的条件下,A发生的概率.

条件概率与事件独立性的关系

探究1：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地， P（B|A）与P（B）不一定相等。如果P（B|A）与P（B）相等，那么事件A与B应满足什么条件？

直观上看，当事件A与B相互独立时，事件A发生与否不影响事件B发生的概率，

这等价于P（B|A）=P（B）成立.

探究2：对于任意两个事件A与B，如果已知P（A）与P（B|A），如何计算P（AB）呢？

由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）.

我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.

条件概率的性质

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.

设P（A）>0，则

（1）P（Ω|A）=1；

（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；

三、典例解析

例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件，那么问题(1)就是积事件的概率，问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率，再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率，再用乘法公式求积事件的概率.

解法1：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。

（1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即。

因为n(AB)=

P（AB）

（2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率。显然P（A）=.利用条件概率公式，得P（B|A）

解法2：在缩小的样本空间A上求P（B|A）.已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P（B|A）=

又P（A）= ，利用乘法公式可得

P（AB）=P（A） P（B|A）

从例1可知，求条件概率有两种方法：

方法一：基于样本空间Ω，先计算P（A）和P（AB），再利用条件概率公式求P（B|A）；

方法二：根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P（B|A）就是以A为样本空间计算AB的概率。

例2：已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？

：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=

因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关。

例3: 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：

（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率。

因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为.

跟踪训练1.一个盒子中有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每一次取后不放回.若已知第一只是好的,求第二只也是好的的概率.

解:方法一(定义法)

设A_i={第i只是好的}(i=1,2).由题意知要求出P(A₂|A₁).因为P(A₁)=,P(A₁A₂)=,

所以P(A₂|A₁)=.

方法二(直接法)

因为事件A₁已发生(已知),故我们只研究事件A₂发生便可,在A₁发生的条件下,盒中仅剩9只晶体管,其中5只好的,即n(AB)=5,n(A)=9,所以P(A₂|A₁)=.

开门见山，提出问题.

通过生活中的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而建立条件概率的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

让学生亲身经历了从特殊到一般，获得条件概率概念的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过概念辨析，让学生深化对条件概率的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典例解析，让学生体会利用二项式系数的性质，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

解析:P(B|A)=.

答案:A

2.下列说法正确的是( )

A.P(A|B)=P(B|A)

B.P(B|A)>1

C.P(A∩B)=P(A)P(B|A)

D.P((A∩B)|A)=P(B)

解析:由P(B|A)=知,P(A∩B)=P(A)P(B|A).

答案:C

3.设A,B为两个事件,若事件A和B同时发生的概率为,在事件A发生的条件下,事件B发生的概率为,则事件A发生的概率为 .

4.某气象台统计,该地区下雨的概率为,刮四级以上风的概率为,既刮四级以上的风又下雨的概率为.设A为下雨,B为刮四级以上的风,求P(B|A).

解:由题意知P(A)=,P(A∩B)=, 故P(B|A)=.

5.在100件产品中,有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取1件产品.试求:

(1)第一次取到不合格品的概率;

(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

分析:由题意可知,100件产品中共有5件不合格品,不合格率为.在第一次取到不合格品的条件下,第二次又取到不合格品的概率为条件概率.

解:设第一次取到不合格品为事件A,第二次取到不合格品为事件B,则有:

(1)P(A)==0.05.

(2)方法一:第一次取到一件不合格品,还剩下99件产品,其中有4件不合格品,95件合格品,于是第二次又取到不合格品的概率为,由于这是一个条件概率,所以P(B|A)=

方法二:根据条件概率的定义,先求出事件A,B同时发生的概率P(AB)=,

所以P(B|A)=.

6.在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题,若考生至少答对其中的4道题即可通过;若至少答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.

解:设事件A为“该考生6道题全答对”,事件B为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”,事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”,事件D为“该考生在这次考试中通过”,事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)

=,P(E|D)=P(A∪B|D)=P(A|D)+P(B|D)

=,即所求概率为

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。