组合与组合数教学设计

课程目标

学科素养

A. 理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.

B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.

C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.

1.数学抽象：组合的概念

2.逻辑推理：组合数公式的推导

3.数学运算：组合数的计算及性质

4.数学建模：运用组合解决计数问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题探究

问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？

分析：在6.2.1 节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：

甲乙、甲丙、乙丙.

从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？

一、组合的相关概念

1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.

名师点析排列与组合的区别与联系

(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.

(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.

1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？

（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？

（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？

（1）与顺序无关，是组合问题；

（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。

例5.平面内有A，B，C，D共4个点.

（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？

（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？

分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；

（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.

解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为=43=12.

（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，

共有如下6条：

AB,AC,AD,BC,BD,CD.

问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？

进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？

二、组合数与组合数公式

1.组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,

叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,

用符号表示.

上述公式称为组合数公式.

2.组合数公式:,这里n,m∈N^*,并且m≤n.

另外,我们规定=1.

二、典例解析

观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？

1.公式(m,n∈N^*,且m≤n),一般用于求值计算.

2.公式(m,n∈N^*,且m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.

3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.

跟踪训练1. (1)计算:①3-2;②.

(2)求证:+2.

分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.

例7. 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.

（1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

分析:（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数；

（2）分两步，第一步从2件次品中抽出1件次品，第二步从98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；

（3）可从反面考虑，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法数后，由第（1）题的结论减去这个结果即可得．

解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，∴共有(种)；

（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，

从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，

因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(种).

（3）抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，

也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，

即(种).

组合问题的基本解法

(1)判断是否为组合问题;

(2)是否分类或分步;

(3)根据组合的相关知识进行求解.

跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?

(1)任意选5人;

(2)甲、乙、丙三人必须参加;

(3)甲、乙、丙三人不能参加;

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;

(5)甲、乙、丙三人至少1人参加.

分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断和分析.注意“至少”“至多”问题,运用间接法求解会简化思维过程.

解:(1)=792(种)不同的选法.

(2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有=36(种)不同的选法.

(3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有=126(种)不同的选法.

(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙

中选1人,有=3(种)选法,再从另外的9人中选4人有种选法.共有=378(种)不同的选法.

(5)(方法一 直接法)可分为三类:

第1类,甲、乙、丙中有1人参加,有种选法;

第2类,甲、乙、丙中有2人参加,有种选法;

第3类,甲、乙、丙3人均参加,有种选法.

所以,共有=666(种)不同的选法.

(方法二 间接法)12人中任意选5人共有种,甲、乙、丙三人不能参加的有种,

所以,共有=666(种)不同的选法.

变式：若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?

解:(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:

第1类,甲、乙、丙都不参加,有种选法;

第2类,甲、乙、丙中有1人参加,有种选法;

第3类,甲、乙、丙中有2人参加,有种选法.

共有=756(种)不同的选法.

(方法二 间接法)12人中任意选5人共有种,甲、乙、丙三人全参加的有种选法,所以共有=756(种)不同的选法.

通过具体问题，分析、比较、归纳出组合的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中让学生熟悉组合和组合数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.从10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2个.

答案:B

2.若=3,则n的值为( )

A.4 B.5 C.6 D.7

解析:因为=3,所以n(n-1)=,解得n=6.故选C.

答案:C

3.若集合A={a₁,a₂,a₃,a₄,a₅},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有 个.

解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为=5.

答案:5

4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?

解:(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准:

第1类,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有=48(个)不同的三角形;

第2类,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有=112(个)不同的三角形;

第3类,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有=56(个)不同的三角形.

由分类加法计数原理,不同的三角形共有

48+112+56=216(个).

(方法二 间接法)=220-4=216(个).

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。