圆的标准方程教学设计

课程目标

学科素养

A. 会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.

B.能根据所给条件求圆的标准方程.

C.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.

1.数学抽象：圆的标准方程

2.逻辑推理：圆的标准方程的推导

3.数学运算：根据条件求圆的标准方程

4.数学建模：圆的标准方程

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

《古朗月行》

唐李白

小时不识月，呼作白玉盘。

又疑瑶台镜，飞在青云端。

月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?

二、探究新知

思考1 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？

定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

确定圆的因素：圆心和半径

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

思考2 已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？

|MA|＝r,由两点间的距离公式,得＝r,

化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

一、圆的标准方程

点睛：(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.

(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.

(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.

1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( )

A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1

C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1

解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,

又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.

答案:A

二、点与圆的位置关系

圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设

d=|PC|=

2.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是( )

A.在圆上 B.在圆外

C.在圆内 D.以上都不对

解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.

答案:B

三、典例解析

例1.求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.

思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.

解:(方法1)设点C为圆心,

∵点C在直线:x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).

又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.

∴,

解得a=-2.

∴圆心坐标为C(-1,-2),半径r=.

故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),

由条件知 解得

故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

(方法3)线段AB的中点为(0,-4),kAB=,

所以弦AB的垂直平分线的斜率k=-2,

所以线段AB的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即y=-2x-4.

故圆心是直线y=-2x-4与直线x-2y-3=0的交点,

由

即圆心为(-1,-2),圆的半径为r=,

所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

圆的标准方程的两种求法

(1)几何法

它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.

(2)待定系数法

由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:

①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;

②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;

③解——解方程组,求出a,b,r;

④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.

跟踪训练1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．

[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

因为A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，

于是有解得

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

法二：因为A(0,5)，B(1,－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.

由得圆心的坐标为(－3,1)，

又圆的半径长r＝＝5，

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

跟踪训练2 已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:

(1)周长最小的圆的方程;

(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.

(1)解:当AB为直径时,过点A、B的圆的半径最小,从而周长最小,即

AB中点(0,1)为圆心,半径r=|AB|=.

则圆的方程为:x2+(y-1)2=10.

(2)(方法1)AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0.

由即圆心坐标是C(3,2),

r=|AC|==2.

∴圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20.

(方法2)待定系数法.

设圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,

则

∴圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20.

例2(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )

A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.不确定

(2)已知点M(5+1,)在圆(x-1)2+y2=26的内部,则a的取值范围是 .

思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.

解析:(1)因为(m2)2+52=m4+25>24,所以点P在圆外.

(2)由题意知

解得0≤a<1.

答案:(1)B (2)[0,1)

点与圆的位置关系及其应用

点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.

跟踪训练3 若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是( )

A.a<-1或a>1 B.-1

解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,故-1

答案:B

金题典例 1.若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值．

[提示] 原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.

2．若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．

[提示] P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.

3. 已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值.

思路探究：x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，即点P(x，y)是圆上的点．而表示点(x，y)与点(－1，－1)的距离．故此题可以转化为求圆x2＋(y＋4)2＝4上的点与点(－1，－1)的距离的最值问题．

[解] 因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，

因此表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．

因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，

所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．

而|AC|＝＝，

所以的最大值为|AC|＋r

＝＋2，

最小值为|AC|－r＝－2.

母题探究1：本例中条件不变，试求的取值范围．

[解] 设k＝，则此式可看作是圆上一点与点(－1，－1)连线的斜率．

所以由k＝可得y＋1＝k(x＋1)，此直线与圆应相交．

圆心(0，－4)到直线的距离d≤r.

即≤2，解得k≥或k≤.

2．本例条件不变，试求圆上一点到直线x＋y＝4的最大值与最小值．

[解] 圆心(0，－4)到直线x＋y＝4的距离d＝＝＝4.

所以圆上一点到直线x＋y＝4的最大值为d＋r＝2＋4，

最小值为d－r＝4－2.

与圆有关的最值问题的求解策略

(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用．

(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：①k＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等．

通过古诗中关于月亮的描述，引出建立圆的方程的问题，同时类比直线方程的建立过程，帮助学生通过类比建立圆的标准方程。学会联系旧知，制定解决问题的策略。让学生进一步感悟运用坐标法研究几何问题的方法。

通过点与圆的位置关系，体会运用代数法和几何法解决问题的特点，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中掌握求圆的标准方程的基本方法，即：代数法与几何法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过与圆相关的最值问题的解决，提升学生数形结合的思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是( )

A.5 B.3 C.4 D.2

解析:圆心坐标为(0,0),所以圆心到直线的距离为d==5.

答案:A

2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为( )

A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65

C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=13

解析:∵C(2,-3),B(5,-1),∴|BC|=,即圆的半径r=,又∵圆心为C(2,-3),∴圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13,故选D.

答案:D

3.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是 .

解析:由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范围是(0,10).答案:(0,10)

4.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为 .

解析:已知圆的圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),半径不变,故所求对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.

答案:(x-2)2+y2=5

5.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程.

[解] 法一：(待定系数法)

设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

则有，解得

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

法二：(几何法)

由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.

∵弦的垂直平分线过圆心，

∴由得即圆心坐标为(4，－3)，

半径r＝＝5.

∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。