直线的两点式方程教学设计

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

我们知道在直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角（斜率），即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线。

这样，在直角坐标系中，给定一个点p0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程。若给定直线上两点p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢?

二、探究新知

1．直线的两点式方程

(1)直线的两点式方程的定义 ________________就是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式．

＝

点睛：1.当两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.

2.对于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P1(1,1),P2(2,3),由两点

式可得,也可以写成

1. 把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),对两点的坐标还有限制条件吗?

答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.

2.已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为 .

解析:由两点式,得,化简得x-y-2=0.

答案:x-y-2=0

二、直线的截距式方程

点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.

3．在x，y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( )

A．＋＝1 B．＋＝1

C．－＝1 D．＋＝1

答案A

解析：由截距式方程知直线方程为＋＝1.选A.

4.直线=1(ab≠0)在y轴上的截距是( )

A.a2 B.b2 C.-b2 D.|b|

答案:C

解析:原直线方程化为截距式方程为=1,故在y轴上的截距是-b2.

三、典例解析

例1 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:

(1)BC边所在的直线方程;

(2)BC边上中线所在的直线方程.

思路分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.

解:(1)直线BC过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得,化简得2x+y+3=0.

(2)由中点坐标公式,得BC的中点D的坐标为,

即D(-1,-1).

又直线AD过点A(-4,0),由两点式方程得,

化简得x+3y+4=0.

延伸探究例1已知条件不变,求:

(1)AC边所在的直线方程;

(2)AC边上中线所在的直线方程.

解:(1)由两点式方程,得,

化简得x-2y+4=0.

(2)由中点坐标公式得AC边的中点E(-3,),中线BE所在直线的方程为,

化简得7x+6y+18=0.

两点式方程的应用

用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.

例2过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )

A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0

C.3x-y=0 D.x-3y+8=0

思路分析:设出直线的截距式方程,然后利用点P在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程求出参数.

解析:设所求的直线方程为=1(a>0,b>0),

由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6,

因此有解得

故所求直线的方程为3x+y-6=0.

答案:A

总结归纳：在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时,常把直线方程设为截距式,由已知条件建立关于两截距的方程,解得截距的值,从而确定方程.

训练跟踪1 直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.

解:由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程.

设直线l的方程为=1,则a+b=12.①

又直线l过点(-3,4),

所以=1.②

由①②解得

故所求的直线方程为=1或=1,

即x+3y-9=0或4x-y+16=0.

跟踪训练2将变式训练1中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”,求直线l的方程.

解:设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b.

(1)当a≠0,b≠0时,

设l的方程为=1,

因为点(-3,4)在直线上,所以=1.

若a=b,则a=b=1,直线方程为x+y-1=0;

若a=-b,则a=-7,b=7,直线方程为x-y+7=0.

(2)当a=b=0时,直线过原点,且过(-3,4),所以直线方程为4x+3y=0.

综上所述,所求直线方程为:

x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0.

金题典例 如图,某小区内有一块荒地ABCDE,已知BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m,AE∥CD,BC∥DE,∠C=90,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少?

思路分析将问题转化为在线段AB上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB的方程.这里设点P的坐标是关键.

解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0),

∴AB所在直线的方程为=1,即y=60(1-).

∴y=60-x.从而可设P(x,60-x),其中0≤x≤90,

∴所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).

故S=(300-x)(240-60+x)=-x2+20x+54 000(0≤x≤90),

∴当x=-=15,且y=60-15=50时,

S取最大值为-152+2015+54 000=54 150(m2).

因此点P距AE 15 m,距BC 50 m时所开发的面积最大,

最大面积为54 150 m2

归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.

通过对直线几何要素及点斜式方程的回顾，提出问题，让学生初步体会坐标法的思想方法，并提出问题，明确研究问题运用方程思想，求解直线两点=点式方程。

由坐标系中的直线，让学生理解已知直线两个要素，建立直线方程的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用两点式和截距式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。

通过典例解析，进一步让理解运用两点式和截距式方程的方法，并能合理选择直线的方程形式，进一步体会坐标法解决问题的基本思想。

三、达标检测

1.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是( )

A.=0 B.=0

C.=1 D.=1

解析:由截距式,得所求直线的方程为=1.

答案:C

2.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为( )

A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0

C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0

解析:点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),由两点式方程

得,即2x+y-8=0.

答案:A

3．过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

解析：①过原点时，直线方程为y＝－x.②直线不过原点时，可设其方程为＋＝1，

∴＋＝1，∴a＝1.∴直线方程为x＋y－1＝0.

所以这样的直线有2条，选B.

答案：B

4.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m= .

解析:由两点式方程得,过A,B两点的直线方程为,即x+y-1=0.又点P(3,m)在直线AB上,所以3+m-1=0,得m=-2.

答案:-2

5.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 .

解析:直线在两坐标轴上的截距分别为,所以直线与坐标轴围成的三角形面积为.

答案:

6.已知三角形的三个顶点A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．

(1)求三角形三边所在直线的方程；

(2)求AC边上的垂直平分线的方程．

解析(1)直线AB的方程为＝，整理得x＋y－4＝0；

直线BC的方程为＝，整理得x－y＋8＝0；

由截距式可知，直线AC的方程为＋＝1，整理得x－2y＋8＝0.

(2)线段AC的中点为D(－4,2)，直线AC的斜率为，

则AC边上的垂直平分线的斜率为－2，

所以AC边的垂直平分线的方程为y－2＝－2(x＋4)，

整理得2x＋y＋6＝0.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。