直线的一般式方程教学设计

课程目标

学科素养

A.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系；

2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化；

3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.

1.数学抽象：一般式方程与二元一次方程的关系

2.逻辑推理：直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化

3.数学运算：运用直线的一般式方程解决有关问题

4.直观想象：直线与方程的关系

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

问题：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.

(1)斜率是1,经过点A(1,8);

(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7,7;

(3)经过两点P1(-1,6),P2(2,9);

(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45.

(1)y-8=x-1;(2)=1;(3);(4)y=x+7.如果我们画出这4条

直线的图象,你会惊奇地发现:这4条直线是重合的.事实上,它们的方程都可以化简为x-y+7=0.这样前几种直线方程就有了统一的形式,这就是本节我们要学习的直线的一般式方程.

同学们,根据前面我们学习的直线方程形式,分别利用点斜式、截距式、两点式和斜截式,可得到四种情况下的直线方程分别为

二、探究新知

1.直线的一般式方程

(1)．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的_____________；任何关于x，y的二元一次方程都表示________．方程_____________________________________叫做直线方程的一般式．

二元一次方程; 一条直线; Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)

(2)．直线一般式方程的结构特征

①方程是关于x，y的二元一次方程．

②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y常数的先后顺序排列．

③x的系数一般不为分数和负数．

④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．

2.直线的一般式方程与其他形式的互化

1.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线

(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.

答案:当A=0时,方程变为y=-,当C≠0时表示的直线平行于x轴,当C=0时与x轴重合;当B=0时,方程变为x=-,当C≠0时表示的直线平行于y轴,当C=0时与y轴重合.

2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ;

化为截距式为 .

解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-x-;

方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即=1.

答案:y=-x; =1

3.两条直线的位置关系

3.判断下列两组直线是否平行或垂直:

(1)x+2y-7=0; 2x+4y-7=0.

(2)4x-y+3=0, 3x+12y-11=0.

解:(1)∵14-22=0且2(-7)-4(-7)≠0,∴两直线平行.

(2)∵43+(-1)12=0,∴两直线垂直.

三、典例解析

例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.

(1)斜率是,且经过点A(5,3);

(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;

(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;

(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.

思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.

解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y-3=(x-5),化为一般式方程为x-y+3-5=0.

(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,

化为一般式方程为4x-y-2=0.

(3)由两点式方程可知,

所求直线方程为,

化为一般式方程为2x+y-3=0.

(4)由截距式方程可得,所求直线方程为=1,化为一般式方程为x+3y+3=0.

直线的一般式方程的特征

求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.

跟踪训练1 根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.

(1)斜率是-,经过点A(8,-2);

(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;

(3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3;

(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).

解:(1)由点斜式方程,得y-(-2)=-(x-8),即x+2y-4=0.

(2)由点斜式方程,得y-2=0.

(3)由截距式方程,得=1,即2x-y-3=0.

(4)由两点式方程,得,即x+y-1=0.

【例2】 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值;

(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.

思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.解:(1)由23-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.

当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,

显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.

同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,

故m的值为2或-3.

(2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1.

故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.

延伸探究已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.

求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;

(2)过点A和直线l垂直的直线方程.

解:(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,

又过点A(2,2),所以32+42+C1=0,所以C1=-14.

所求直线方程为3x+4y-14=0.

(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,

又过点A(2,2),所以42-32+C2=0,所以C2=-2,

所以直线方程为4x-3y-2=0.

1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，

(1)若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．

(2)若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

2．与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法

(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．

(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.

跟踪训练 2 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l的方程,l满足

(1)过点(-1,3),且与l平行;

(2)过点(-1,3),且与l垂直.

思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.

解:(方法1)由题设l的方程可化为y=-x+3,∴l的斜率为-.

(1)∵直线l与l平行,∴l的斜率为-.

又∵直线l过(-1,3),由点斜式知方程为y-3=-(x+1),即3x+4y-9=0.

(2)由l与l垂直,∴l的斜率为,

又过(-1,3),由点斜式可得方程为y-3=(x+1),即4x-3y+13=0.

(方法2)(1)由l与l平行,可设l方程为3x+4y+m=0.

将点(-1,3)代入上式得m=-9.∴所求直线方程为3x+4y-9=0.

(2)由l与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.

∴所求直线方程为4x-3y+13=0.

金题典例 (1)设直线l的方程为(a－1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l不过第三象限，则a的取值范围为________．

(2)设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：

①直线l的斜率为－1；

②直线l在x轴，y轴上的截距之和等于0.

解析：(1)[1，＋∞)

把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第三象限，该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．

即解得a≥1. 所以a的取值范围为[1，＋∞)．

(2)①因为直线l的斜率存在，

所以直线l的方程可化为y＝－x＋2.由题意得－＝－1，解得k＝5.

②直线l的方程可化为＋＝1.由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.

变式探究：1.典例(1)中若将方程改为“x＋(a－1)y－2－a＝0(a∈R)”，其他条件不变，又如何求解？

[解] (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不过第三象限，符合．

(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，且直线在y轴上的截距大于等于零．

即解得a＞1.

由(1)(2)可知a≥1.

2．若典例(1)中的方程不变，当a取何值时，直线不过第二象限？

[解] 把直线l化成斜截式，得y＝(1－a)x＋a＋2，因为直线l不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且直线在y轴上的截距小于等于零．即解得a≤－2.

直线恒过定点的求解策略

(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标.

(2)将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点.

通过求解4个条件下的直线方程，体会不同直线方程的适用条件，及时提出问题，让学生体会学习直线方程一般式的必要性。

理解直线一般式的方程特点，能进行直线方程间的互化。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生加深对直线一般式的理解和应用。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。

通过典例解析，进一步灵活运用直线一般式，并能合理选择直线的方程形式，解决相关问题。

三、达标检测

1．思考辨析

(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )

(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )

(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )

(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( )

答案 (1)√ (2)√ (3) 当C＝0时，直线与y轴重合．

(4) 当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．

2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )

解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距<0,在y轴上的截距-<0;bx-ay=1在x轴上的截距>0,在y轴上的截距->0.只有B满足.故选B.

答案:B

3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )

A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0

C．2x＋y＝2＝0 D．x＋2y－1＝0

答案A

解析：设所求直线方程为x－2y＋c＝0，把点(1,0)代入可求得c＝－1.

所以所求直线方程为x－2y－1＝0.故选A.

4．已知两条直线y＝ax－2和3x－(a＋2)y＋1＝0互相平行，则a＝________.

答案：1或－3

解析：依题意得：a(a＋2)＝31，解得a＝1或a＝－3.

5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．

(1)求实数m的范围；

(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．

解析： (1)由解得m＝2，

若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2.

(2)由－＝1，解得m＝0.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。