两点间的距离公式教学设计

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

在一条笔直的公路同侧有两个大型小区,现在计划在公路上某处建一个公交站点C,以方便居住在两个小区住户的出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小?

二、探究新知

问题1.在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？

提示：|AB|＝|xA－xB|.

问题2：在平面直角坐标系中能否利用数轴上两点间的距离求出任意两点间距离？

探究.当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？请简单说明理由．

提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解．

答案：如图，在Rt △P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，

所以|P1P2|＝.

即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝.

你还能用其它方法证明这个公式吗？

2．两点间距离公式的理解

(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝.

(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.

当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.

两点间的距离公式

(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝

(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．

1.已知点P1(4,2),P2(2,-2),则|P1P2|= .

解析:|P1P2|==2

答案:2

三、典例解析

例1.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.

思路分析:可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.

解:(方法1)∵|AB|=,

|AC|=,

|BC|=,

∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2

∴△ABC是等腰直角三角形

(方法2)∵kAC=,kAB==-,∴kACkAB=-1.∴AC⊥AB.

又|AC|=,|AB|=,

∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.

两点间距离公式的应用

两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.

跟踪训练1已知点A(-3,4),B(2,),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

解:设点P(x,0),则有|PA|=,

|PB|=.

由|PA|=|PB|,得x2+6x+25=x2-4x+7,

解得x=-.即所求点P为-,0,

且|PA|=.

例2如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点,

求证:|AB|2=|AD|2+|BD||DC|.

思路分析:建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.

证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b

则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,

|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,

|BD||DC|=|m+b||b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,

∴|AD|2+|BD||DC|=a2+b2,

∴|AB|2=|AD|2+|BD||DC|.

坐标法及其应用

1.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:

(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;

(2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.

2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:

(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;

(2)用坐标表示有关的量;

(3)将几何关系转化为坐标运算;

(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.

跟踪训练2已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.

解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.∵正三角形ABC的边长为a,

通过生活中两点间距离的问题情境，引出在坐标系下探究两点间距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出新的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。

在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构，并体会两点间距离公式的初步应用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生逐步感悟运用解析法研究几何问题的方法。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.点A(1,-2)关于原点的对称点为A,则|AA|为( )

解析:因为A(1,-2)关于原点的对称点A(-1,2),

所以|AA|==2.故选A.

答案:A

2.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=( )

解析:依题意设A(a,0),B(0,b),

∵P(2,-1)为线段AB的中点,∴a=4,b=-2.∴A(4,0),B(0,-2).

∴|AB|==2.

答案:A

3．函数y＝＋的最小值是( )

A．0 B. C．13 D．不存在

解析：原函数可化为y＝＋，

设P(x,0)，A(0,1)，B(2，－2)．

则y＝|PA|＋|PB|.

∵P是x轴上的动点，A，B是两个定点，∴|PA|＋|PB|≥|AB|＝，

∴当P，A，B三点共线时，ymin＝.

答案：B

4．以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形是( )

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

解析：|AB|＝|AC|＝，|BC|＝，故△ABC为等腰三角形．

答案：B

5.已知点A(3,6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，则点P的坐标为________．

解析：设点P的坐标为(x,0)，由d(P，A)＝10得＝10，解得x＝11或x＝－5.

∴点P的坐标为(－5,0)或(11,0).

答案： (－5,0)或(11,0)

6.已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为_____.

解析： BC的中点坐标为(0,1)，则BC的中线长为＝.

答案：

7.点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标.

解析：由题意得A点的纵坐标为－3，设A(x，－3)，

则＝5，x＝4.

又点A在第四象限，∴x＝－4(舍)，∴A(4，－3).

8．正方形ABCD的边长为6，若E是BC的中点，F是CD的中点，试建立直角坐标系，证明：BF⊥AE.

证明：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图．

则A(0,0)，B(6,0)，E(6,3)，F(3,6)．

∴kBF＝＝－2，kAE＝＝.

∵kBFkAE＝－1，∴BF⊥AE.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。