两直线的交点坐标教学设计

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点直线相关的距离问题等。

二、探究新知

两条直线的交点

1.已知两条直线的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,设这两条直线的交点为P,则点P既在直线l1上,也在直线l2上.所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0,也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0,即点P的坐标就是方程组的解.

2.

点睛：如果两条直线相交,则交点坐标分别适合两条直线的方程,即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.

1.直线 x+y=5与直线x-y=3交点坐标是( )

A.(1,2) B.(4,1) C.(3,2) D.(2,1)

解析:解方程组因此交点坐标为(4,1).

答案:B

三、典例解析

例1.直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－2y＋4＝0平行，求直线l的方程．

[解] 法一：联立方程解得即直线l过点(－1,3)．

因为直线l的斜率为，

所以直线l的方程为y－3＝(x＋1)，即3x－2y＋9＝0.

法二：因为直线x＋y－2＝0不与3x－2y＋4＝0平行，

所以可设直线l的方程为x－y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

整理得(1＋λ)x＋(λ－1)y＋4－2λ＝0，

因为直线l与直线3x－2y＋4＝0平行，

所以＝≠，解得λ＝，

所以直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－2y＋9＝0.

求过两直线交点的直线方程的方法

(1)解本题有两种方法：一是采用常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求出斜率，由点斜式写出直线方程；二是设出过两直线交点的方程，再根据平行条件待定系数求解.

(2)过两条相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含直线l2).

跟踪训练1．三条直线ax＋2y＋7＝0,4x＋y＝14和2x－3y＝14相交于一点，求a的值．

[解] 解方程组

得

所以两条直线的交点坐标为(4,－2)．

由题意知点(4,－2)在直线ax＋2y＋7＝0上，将(4,－2)代入，

得a4＋2(－2)＋7＝0，解得a＝－.

例2.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.

(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;

(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;

(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.

思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线是否相交.

解:(1)方程组的解为

因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).

(2)方程组有无数个解,

这表明直线l1和l2重合.

(3)方程组无解,

这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.

跟踪训练2 已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是 .

解析:由

由∴-

答案:-,2

例3 (1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;

(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.

思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.

(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.

解方程组得直线所过定点.

解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.

∵点P(1,0)在直线上, ∴1-2+λ(3+2)=0.

∴λ=.∴所求方程为x+2y-2+(3x-2y+2)=0,

即x+y-1=0.

(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,得-x-y-1+a(x+2)=0.

所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.

解方程组

所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1).

利用直线系方程求直线的方程

经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.

跟踪训练3 已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,

x-y-1=0的交点,则直线l的方程为( )

A.2x+y=0 B.2x-y=0

C.x+2y=0 D.x-2y=0

解析:(方法1)解方程组得交点为(-1,-2).又直线l经过原点,由两点式得其方程为,即2x-y=0.

(方法2)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,

所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.

答案:B

例4 光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.

思路分析:求点A关于直线l的对称点A→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程

解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A(x0,y0),

则 ，解之,得A(-4,-3).

由于反射光线经过点A(-4,-3)和B(1,1),

所以反射光线所在直线的方程为y-1=(x-1),

即4x-5y+1=0.

解方程组得反射点P(-,-).

所以入射光线所在直线的方程为y-3=(x-2),即5x-4y+2=0.

点关于直线的对称点的求法

点P(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系解方程组可得点P0的坐标.

跟踪训练4直线y=2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线,若A,B两点的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求点C的坐标.

解:把A,B两点坐标代入y=2x知,A、B不在直线y=2x上,因此y=2x为角C的平分线,设点A(-4,2)关于y=2x的对称点为A(a,b),则

,线段AA的中点坐标为(,

则解得∴A(4,-2),

∵y=2x是角C平分线所在直线的方程,

∴A在直线BC上,

∴直线BC的方程为,即3x+y-10=0,由

解得∴C(2,4).

金题典例 过点P(3,0)作一直线分别交直线2x-y-2=0和x+y+3=0于点A,B,且点P恰好为线段AB的中点,求此直线的方程.

解:分析一:设出直线的方程,求出交点的坐标,再用中点坐标公式.

解法一:若直线斜率不存在,则方程为x=3.

由得A(3,4).，由得B(3,-6).

由于=-1≠0,∴P不为线段AB的中点.

若直线斜率存在,设为k,则方程为y=k(x-3).

由得A().

由得B(,-).

∵P(3,0)为线段AB的中点,

∴∴

∴k=8.

∴所求直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.

分析二:设出A(x1,y1),由P(3,0)为AB的中点,易求出B的坐标,而点B在另一直线上,从而求出x1、y1的值,再由两点式求直线的方程.

解法二:设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6-x1,-y1).

∵点A,B分别在已知两直线上,

∴解得

∴A.∵点A,P都在直线AB上,

∴直线AB的方程为,

即8x-y-24=0.

分析三:由于P(3,0)为线段AB的中点,可对称地将A,B坐标设为(3+a,b),(3-a,-b),

代入已知方程.

∴直线AB的斜率即直线AP的斜率,值为=8.

∴所求直线的方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.

点睛:解法三这种对称的设法需要在平常学习中加以积累,以上三种解法各有特点,要善于总结,学习其简捷解法,以提高解题速度.

解法三:∵P(3,0)为线段AB的中点,∴可设A(3+a,b),B(3-a,-b).

∵点A,B分别在已知直线上,

通过直线与二元一次方程的关系，提出运用方程研究直线位置关系得问题，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。

理解运用解方程组，求解直线交点坐标的方法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生逐步感悟运用解析法研究几何问题的方法。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。

通过典例解析，进一步灵活运用直线方程，解决两直线的位置关系及对称问题，提高学生解决问题的能力。