等差数列的前n项和公式（2）教学设计

课程目标

学科素养

A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用.

B.会求等差数列前n项和的最值.

1.数学抽象：等差数列前n项和公式

2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数

3.数学运算：等差数列前n项的应用

4.数学建模：等差数列前n项的具体应用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、课前小测

1．思考辨析

(1)若S_n为等差数列{a_n}的前n项和，则数列也是等差数列．( )

(2)若a₁>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．( )

(3)在等差数列中，S_n是其前n项和，则有S_2n－1＝(2n－1)a_n.( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√

2．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( )

A．9 B．10 C．11 D．12

B [∵＝，∴＝.∴n＝10.故选B项．]

3．等差数列{a_n}中，S₂＝4，S₄＝9，则S₆＝________.

15 [由S₂，S₄－S₂，S₆－S₄成等差数列得2(S₄－S₂)＝S₂＋(S₆－S₄)解得S₆＝15.]

4．已知数列{a_n}的通项公式是a_n＝2n－48，则S_n取得最小值时，n为________.

23或24 [由a_n≤0即2n－48≤0得n≤24.∴所有负项的和最小，即n＝23或24.]

二、典例解析

例8.某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？

分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{a_n} ，设数列{a_n} 的前项和为。由题意可知，{a_n}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前项和公式求首项。

解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{a_n}，其前n项和为S_n.根据题意，数列{a_n}是一个公差为2的等差数列，且S₂₀＝800.

因此，第1排应安排21个座位。

解得a₁＝21.

因此，第1排应安排21个座位.

1．本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．

2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：

(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．

(2)深入分析题意，确定是求通项公式a_n，或是求前n项和S_n，还是求项数n.

跟踪训练1. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？

分析：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程．

解:从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a₁，a₂，…，a₂₅.由题意可知，此数列为等差数列，且a₁＝24，公差d＝－.

25辆翻斗车完成的工作量为：a₁＋a₂＋…＋a₂₅＝2524＋2512＝500，而需要完成的工作量为2420＝480.∵500>480，

∴在24小时内能构筑成第二道防线．

例9.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁＝10，公差d＝－2，S_n是否存在最大值？若存在，求S_n的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

分析数项的和。

另一方面，等差数列的前n项和公式可写成

，所以当时， 可以看成二次函数

，当= 时函数值。如图，当时， 关于的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的, 的值。

解法1.由d＝－2，得a_n＋1－a_n＝－2＜0，得a_n＋1＜a_n ，所以{a_n}是递减数列.由a₁＝10，d＝－2，

得a_n＝10＋(n－1)(－2) ＝－2n＋12.

可知，当n＜6时，a_n＞0；

当n＝6时，a_n＝0；

当n＞6时，a_n＜0.

所以, S₁＜S₂＜…＜S₅＝S₆＞ S₇＞…

也就是说，当n＝5或6时，S_n最大.

因为 =30

所以S_n的最大值为30.

解法2：因为由a₁＝10，d＝－2，

因为

所以，当n取与 最接近的整数，

即5或6时，S_n最大，最大值为30.

1.在等差数列中，求S_n的最小(大)值的方法：

(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．

(2)借助二次函数的图象及性质求最值．

2．寻求正、负项分界点的方法：

(1)寻找正、负项的分界点来寻找．

(2)利用到y＝ax²＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点．

跟踪训练2. 数列{a_n}的前n项和S_n＝33n－n²，

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)问{a_n}的前多少项和最大；

(3)设b_n＝|a_n|，求数列{b_n}的前n项和S_n′.

分析：(1)利用S_n与a_n的关系求通项，也可由S_n的结构特征求a₁，d，从而求出通项．

(2)利用S_n的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解

(3)利用a_n判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用S_n的函数特征判断项的正负求解．

[解] (1)法一：(公式法)当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝34－2n，

又当n＝1时，a₁＝S₁＝32＝34－21满足a_n＝34－2n.

故{a_n}的通项公式为a_n＝34－2n.

法二：(结构特征法)由S_n＝－n²＋33n知S_n是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{a_n}是等差数列，由S_n的结构特征知

解得a₁＝32，d＝－2，所以a_n＝34－2n.

(2)法一：(公式法)令a_n≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，

故数列{a_n}的前17项大于或等于零．

又a₁₇＝0，故数列{a_n}的前16项或前17项的和最大．

法二：(函数性质法)由y＝－x²＋33x的对称轴为x＝.

距离最近的整数为16,17.由S_n＝－n²＋33n的

图象可知：当n≤17时，a_n≥0，当n≥18时，a_n<0，

故数列{a_n}的前16项或前17项的和最大．

(3)由(2)知，当n≤17时，a_n≥0；

当n≥18时，a_n<0.

所以当n≤17时，S_n′＝b₁＋b₂＋…＋b_n

＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a_n|

＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝S_n＝33n－n².

当n≥18时，

S_n′＝|a₁|＋|a₂|＋…＋|a₁₇|＋|a₁₈|＋…＋|a_n|

＝a₁＋a₂＋…＋a₁₇－(a₁₈＋a₁₉＋…＋a_n)

＝S₁₇－(S_n－S₁₇)＝2S₁₇－S_n

＝n²－33n＋544.

故S_n′＝

通过课前检测，检测学生对知识的掌握情况。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

通过等差数列前项在实际问题中的应用。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式函数特征的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。

通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1．（多选题）已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且S₆>S₇>S₅，有下列四个命题正确的是( )

A.d<0； B.S₁₁>0； C.S₁₂<0； D.数列{S_n}中的最大项为S₁₁

【答案】AB

解析∵S₆>S₇，∴a₇<0，∵S₇>S₅，∴a₆＋a₇>0，

∴a₆>0，∴d<0，A正确．又S₁₁＝(a₁＋a₁₁)＝11a₆>0，B正确．

S₁₂＝(a₁＋a₁₂)＝6(a₆＋a₇)>0，C不正确．{S_n}中最大项为S₆，D不正确．

故正确的是AB]

2．已知等差数列{a_n}中，|a₅|＝|a₉|，公差d>0，则使得前n项和S_n取得最小值的正整数n的值是________．

【答案】6或7

[由|a₅|＝|a₉|且d>0得a₅<0，a₉>0，且a₅＋a₉＝0⇒2a₁＋12d＝0⇒

a₁＋6d＝0，即a₇＝0，故S₆＝S₇且最小．]

3．已知数列{a_n}的前n项和公式为S_n＝n²－30n.

(1)求数列 {a_n}的通项公式a_n；

(2)求S_n的最小值及对应的n值.

【答案】 (1)∵S_n＝n²－30n，

∴当n＝1时，a₁＝S₁＝－29.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(n²－30n)－[(n－1)²－30(n－1)]＝2n－31.

∵n＝1也适合，

∴a_n＝2n－31，n∈N^*.

(2)法一：S_n＝n²－30n＝²－225

∴当n＝15时，S_n最小，且最小值为S₁₅＝－225.

法二：∵a_n＝2n－31，∴a₁2<…15<0，当n>15时，a_n>0.

∴当n＝15时，S_n最小，且最小值为S₁₅＝－225.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。