等差数列的前n项和公式（1）教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握等差数列前n项和公式的推导方法．

B.掌握等差数列的前n项和公式，能够运用公式解决相关问题．

C.掌握等差数列的前n项和的简单性质．

1.数学抽象：等差数列前n项和公式

2.逻辑推理：等差数列前n项和公式的推导

3.数学运算：等差数列前n项和公式的运用

4.数学建模：等差数列前n项和公式综合运用

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、新知探究

据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋…＋100=？

你准备怎么算呢？

高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.

问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？

试从数列角度给出解释.

高斯的算法：

（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=

高斯的算法实际上解决了求等差数列：

1，2，3，…，

前100项的和问题

等差数列中，下标和相等的两项和相等.

设a_n＝n，则a₁＝1，a₂＝2，a₃＝3，…

如果数列{a_n} 是等差数列，p，q，s，t∈N^*，

且p＋q＝s＋t，则a_p＋a_q＝a_s＋a_t

可得：

问题2： 你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？

问题3： 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？

需要对项数的奇偶进行分类讨论.

当n为偶数时，

当n为奇数数时， n－1为偶数

对于任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n

问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？

将上述两式相加，得

所以

问题5.上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？

倒序求和法

等差数列的前n项和公式

功能1：已知a₁，a_n和n，求S_n .

功能2：已知S_n，n，a₁ 和a_n中任意3个，求第4个.

二、典例解析

例6.已知数列{a_n}是等差数列.

（1）若a₁=7,=101,求；

（2）若a₁=2,=,求

（3）若=，d=,=5,求；

分析：对于（1），可以直接利用公式求和；在（2）中，可以先利用a₁和的值求出d ，再利用公式求和；（3）已知公式中的，和，解方程即可求得

解：（1）因为a₁=7,=101 ，根据公式，可得=2700.

（2）因为a₁=2,=，所以d=.根据公式，可得

（3）把=，d=,=5代，得

整理，得

解得或（舍）,所以等差数列中的基本计算

(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a₁，d，n，a_n和S_n

这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a₁和d的方程组，解出a₁和d，

便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．

(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：

若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N^*)，则a_m＋a_n＝a_p＋a_q，常与求和公式S_n＝结合使用．

跟踪训练1 已知等差数列{a_n}．

(1)a₁＝，a₁₅＝－，S_n＝－5，求d和n；

(2)a₁＝4，S₈＝172，求a₈和d.

[解] (1)∵a₁₅＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.

又S_n＝na₁＋d＝－5，

解得n＝15或n＝－4(舍)．

(2)由已知，得S₈＝＝＝172，

解得a₈＝39，

又∵a₈＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.

例7.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？

分析可得到两个关于的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得

解=310,=1220,

把它们代入公式

得解方程组，得

所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差。

一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定。

(法二)∵数列{a_n}为等差数列，

∴S₁₀，S₂₀－S₁₀，S₃₀－S₂₀也成等差数列，

∴2(S₂₀－S₁₀)＝S₁₀＋S₃₀－S₂₀，

即2(1 220－310)＝310＋S₃₀－1 220，

∴S₃₀＝2 730.

(法三)设S_n＝An²＋Bn(A，B为常数)．

由题意，得解得

∴S_n＝3n²＋n.∴S₃₀＝3900＋30＝2 730.

(法四)由S_n＝na₁＋d，得＝a₁＋(n－1)，

∴是以a₁为首项，为公差的等差数列，

∴，，成等差数列，

∴＋＝2，

∴S₃₀＝30＝30(122－31)＝2 730.

通过回顾历史中高斯小故事，提出等差数列求和问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

让学生经历由特殊到一般，分类与整合、数学结合等思想方法，感受等差数列求和公式的推导过程。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的理解。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素。

通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的综合运用能力。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1．在等差数列{a_n}中，若a₃＋a₅＋a₇＋a₉＋a₁₁＝100，则3a₉－a₁₃的值为( )

A．20 B．30 C．40 D．50

【答案】C [∵a₃＋a₁₁＝a₅＋a₉＝2a₇，

∴a₃＋a₅＋a₇＋a₉＋a₁₁＝5a₇＝100，

∴a₇＝20.

∴3a₉－a₁₃＝3(a₇＋2d)－(a₇＋6d)＝2a₇＝40.]

2．设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若a₁＋a₃＋a₅＝3，则S₅＝( )

A．5 B．7 C．9 D．11

【答案】A [由题a₁＋a₃＋a₅＝3，∴3a₃＝3.

∴a₃＝1又∵S₅＝＝＝5.]

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝－n²，则( )

A．a_n＝2n＋1 B．a_n＝－2n＋1

C．a_n＝－2n－1 D．a_n＝2n－1

【答案】B [由a_n＝S_n－S_n－1(n≥2)得a_n＝1－2n，

当n＝1时，S₁＝a₁＝－1符合上式．

∴a_n＝－2n＋1.]

4．在一个等差数列中，已知a₁₀＝10，则S₁₉＝________.

【答案】190 [S₁₉＝＝＝190.]

5．已知等差数列{a_n}中，a₁＝，d＝－，S_n＝－15，求n及a₁₂.

【答案】∵S_n＝n＋－＝－15，

整理得n²－7n－60＝0，

解之得n＝12或n＝－5(舍去)，

a₁₂＝＋(12－1)＝－4.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。