等比数列的前n项和公式(2)教学设计

课程目标

学科素养

A.掌握等比数列的前n项和公式及其应用．

B.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.

1.数学抽象：等比数列的前n项和公式

2.逻辑推理：等比数列的前n项和公式的运用

3.数学运算：等比数列的前n项和公式的运用

4.数学建模：运用等比数列的前n项和公式解决实际问题

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、知识回顾

等比数列的前n项和公式

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二、典例解析

例10. 如图，正方形 的边长为 ，取正方形 各边的中点 作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去.

(1) 求从正方形 开始，连续10个正方形的面积之和；

(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？

分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。

解：设正方形的面积为，后续各正方形的面积依次为, ,…，则=25,

由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，

所以=,

因此{}，是以25为首项，为公比的等比数列.

设{}的前项和为

所以，前10个正方形的面积之和为c.

(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和

随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50.

所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.

典例解析

例11. 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.

分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。

解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则=20, =6+1.5

所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.

解决数列应用题时

一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；

二是：明确是求a_n，还是求S_n.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．

跟踪训练1. 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入．

解：由题意知第1年投入800万元，

第2年投入800万元，

……

第n年投入800^n－1万元，

所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为的等比数列．

所以n年内的总投入S_n＝800＋800＋…＋800^n－1＝4 000(万元)．

由题意知，第1年旅游业的收入为400万元，

第2年旅游业的收入为400万元，

……

第n年旅游业的收入为400^n－1万元，

所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，

公比为的等比数列．

所以n年内旅游业的总收入

T_n＝400＋400＋…＋400^n－1＝1 600(万元)．

故n年内的总投入为4 000万元，

n年内旅游业的总收入为1 600万元．

例12. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为

（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；

（2）将（1）中的递推公式表示成 的形式，其中,为常数；

（3）求=的值（精确到1）.

分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答。

解（1）由题意，得并且

（2）将化成

= ②

比较①②的系数，可得

解这个方程组，得

所以（1）中的递推公式可以化为

（3）由（2）可知，数列{-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则

所以

以正方形面积求和问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题。并体会等比数列与指数函数的关系，感悟函数思想。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

以生活中的垃圾处理为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决实际问题。并掌握分组求和法。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

以牧场中牛的繁殖问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题，并学会运用构造法，构造等比数列解决问题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。

三、达标检测

1．等比数列{a_n}的公比为q(q≠1)，则数列a₃，a₆，a₉，…，a_3n，…的前n项和为( )

A. B.

C. D.

【答案】C [等比数列中，序号成等差数列，则项仍成等比数列，则a₃，a₆，…，a_3n是等比数列，且首项为a₃，公比为＝q³，再用等比数列的前n项和公式求解，即S_n＝，故答案为C项．]

2．(2018全国卷Ⅰ)记S_n为数列{a_n}的前n项和．若S_n＝2a_n＋1，则S₆＝________.

【答案】－63 [通解 因为S_n＝2a_n＋1，所以当n＝1时，a₁＝2a₁＋1，解得a₁＝－1；

当n＝2时，a₁＋a₂＝2a₂＋1，解得a₂＝－2；

当n＝3时，a₁＋a₂＋a₃＝2a₃＋1，解得a₃＝－4；

当n＝4时，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝2a₄＋1，解得a₄＝－8；

当n＝5时，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＝2a₅＋1，解得a₅＝－16；

当n＝6时，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＋a₅＋a₆＝2a₆＋1，解得a₆＝－32.

所以S₆＝－1－2－4－8－16－32＝－63.

优解 因为S_n＝2a_n＋1，所以当n＝1时，a₁＝2a₁＋1，解得a₁＝－1，

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2a_n＋1－(2a_n－1＋1)，所以a_n＝2a_n－1，所以数列{a_n}是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a_n＝－2^n－1，所以S₆＝＝－63.]

3．数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋的前n项和为________.

【答案】n－1＋ [通项a_n＝＋＋…＋＝＝1－

∴前n项和S_n＝＋＋…＋＝n－＝n－1＋.]

4. 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.

(1)以2018年为第一年，设第n年出口量为a_n吨，试求a_n的表达式；

(2)国家计划10年后终止该矿区的出口，问2018年最多出口多少吨？(0.9¹⁰≈0.35，保留一位小数)

解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a₁＝a，公比q＝1－10%＝0.9，

∴a_n＝a0.9^n－1.

(2)10年的出口总量S₁₀＝＝10a(1－0.9¹⁰)．

∵S₁₀≤80，∴10a(1－0.9¹⁰)≤80，

即a≤，

∴a≤12.3.故2018年最多出口12.3吨．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。