圆与圆的位置关系教学设计

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。

我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?

前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。

二、探究新知

圆与圆的位置关系的判定方法

1.几何法:

圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=(r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-y2)2=(r2>0),

两圆的圆心距d=|O1O2|=,则有

2.代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(-4F1>0),圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(-4F2>0),两圆的方程联立得方程组,则有

1. 判断下列两圆的位置关系:

①(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16.

②x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.

解:①根据题意得,两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距

d==5.

因为d=r1+r2,所以两圆外切.

②将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36,

故两圆的半径分别为r1=4和r2=6.

两圆的圆心距

d==3,因为|r1-r2|

三、典例解析

例1 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:

(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含?

思路分析:求出圆心距,与两半径的和或差比较求出a的值.

解:圆C1,C2的方程,经配方后可得

C1:(x-a)2+(y-1)2=16,

C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,

∴圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.

∴|C1C2|==a.

(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;

当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.

(2)当3<|C1C2|<5,即3

(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.

(4)当|C1C2|<3,即0

判断两圆的位置关系的两种方法

(1)几何法:利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系;

(2)代数法:把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.

跟踪训练1 若两圆x2+y2=a与x2+y2+6x-8y-11=0内切,则a的值为 .

解析:∵x2+y2=a表示一个圆,∴a>0.

两圆的圆心、半径长分别为(0,0),与(-3,4),6.

由于两圆内切,则=|-6|,

解得a=121或a=1.

答案:121或1

例2已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.

(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;

(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

思路分析:(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.

(2)可求出两圆的交点坐标,结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.

解:(1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标是方程组的解.

①-②,得x-y+4=0.

∵A,B两点坐标都满足此方程,

∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.

又圆C1的圆心(-3,0),r=,

C1到直线AB的距离为d=,

∴|AB|=2=2=5,

即两圆的公共弦长为5.

(2)(方法1)解方程组

得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).

设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.

则,

解得a=,故圆心为,-,半径为.

故圆的方程为(x-)2+(y+)2=,

即x2+y2-x+7y-32=0.

(方法2)设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1),

其圆心为(-,-),代入x-y-4=0,解得λ=-7.

故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.

相交弦及圆系方程问题的解决

1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.

2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.

3.已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交,则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).

跟踪训练1 两圆相交于两点A(1,3)和B(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c的

值为 .

解析:由题意知直线AB与直线x-y+c=0垂直,

∴kAB1=-1.即=-1,得m=5,∴AB的中点坐标为(3,1).

AB的中点在直线x-y+c=0上,

∴3-1+c=0,∴c=-2,∴m+c=5-2=3.

答案:3

例3求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3,-)的圆的方程.

思路分析:设圆的方程,利用两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得.

解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),

由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切,

则=r+1.①

又所求圆过点M的切线为直线x+y=0,

故.② =r.③

解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6.

故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.

变式探究1 将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切,圆心在x轴上,且过点(3,- )的圆的方程”,如何求?

解:因为圆心在x轴上,

所以可设圆心坐标为(a,0),设半径为r,

则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,

又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-),

所以 解得

所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.

又因为与圆x2+y2-2x=0外切,且过点(3,-),

所以 解得

所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.

变式探究2将本例改为“若圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2-8x-8y+m=0相外切”,试求实数m的值.

解:圆x2+y2-2x=0的圆心为A(1,0),半径为r1=1,

圆x2+y2-8x-8y+m=0的圆心为B(4,4),

半径为r2=.因为两圆相外切,

所以=1+,解得m=16.

通过具体的情景，帮助学生回顾初中几何中已学的圆与圆的位置关系，同时类比直线与圆的位置关系的研究方法。

通过典例解析，帮助学生进一步熟悉两种基本方法，判断圆与圆的位置关系。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中掌握判断圆与圆位置关系的方法，即：代数法与几何法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过圆与圆位置关系的综合问题，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.两圆x2+y2-1=0和x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是( )

A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

解析:圆x2+y2-1=0表示以O1(0,0)点为圆心,以R1=1为半径的圆.

圆x2+y2-4x+2y-4=0表示以O2(2,-1)点为圆心,以R2=3为半径的圆.

∵|O1O2|=,∴R2-R1<|O1O2|

∴圆x2+y2-1=0和圆x2+y2-4x+2y-4=0相交.

答案:B

2.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .

解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.

答案:4x+3y-2=0

3.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程为( )

A.(x-4)2+(y-6)2=16 B.(x4)2+(y-6)2=16

C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x4)2+(y-6)2=36

解析:设所求圆心坐标为(a,b),则|b|=6.由题意,得a2+(b-3)2=(6-1)2=25.

若b=6,则a=4;若b=-6,则a无解.故所求圆方程为(x4)2+(y-6)2=36.

答案:D

4.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a等于 .

解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2.圆C2可化为(x-a)2+y2=1,即圆心C2(a,0),半径r2=1,若两圆内切,需|C1C2|==2-1=1.解得a=1. 答案:1

5. 已知两个圆C1:x2+y2=4,C2:x2+y2-2x-4y+4=0,直线l:x+2y=0,求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程.

解:设所求圆的方程为x2+y2+4-2x-4y+λ(x2+y2-4)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0.

所以圆心为,

半径为,

即.

解得λ=1,舍去λ=-1,圆x2+y2=4显然不符合题意,故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。