圆的一般方程教学设计

课程目标

学科素养

A.理解圆的一般方程及其特点.

B.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.

C.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．

1.数学抽象：二元二次方程与圆的一般方程

2.逻辑推理：圆的一般方程与标准方程的互化

3.数学运算：求圆的一般方程

4.数学建模：圆的一般方程的特点

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开

可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.

请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题.

二、探究新知

例如,对于方程对其进行配方，得,因为任意一点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形，所以形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定能通过恒等变换为圆的标准方程，这表明形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.

一、圆的一般方程

（1）当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

表示以(-,-)为圆心,为半径的圆,

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，配方可得

（2）当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，表示一个点(-,-)

（3）当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.

1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.

2.几个常见圆的一般方程

(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),

(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);

(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);

(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);

(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).

1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是 .

答案:(3,0)

2. 若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,

则F= .

答案:4

3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?

答案:(1)A=C,且均不为0; (2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.

三、典例解析

例1 判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.

思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.

解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0

可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,

∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.

因此,当m=2时,它表示一个点;

当m≠2时,原方程表示圆,

此时,圆的圆心为(2m,-m),

半径为r=|m-2|.

(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,

因此,当m=2时,它表示一个点;

当m≠2时,原方程表示圆,

此时,圆的圆心为(2m,-m),半径为r=|m-2|.

二元二次方程表示圆的判断方法

任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:

(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.

(2)将该方程配方为(x+)2+(y+)2=,根据圆的标准方程来判断.

跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:

(1)实数m的取值范围;

(2)圆心坐标和半径.

解:(1)据题意知D2+E2-4F=(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,

即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,

故m的取值范围为-∞,

(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0

写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,

故圆心坐标为(-m,1),半径r=.

例2 圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.

思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一般方程,用待定系数法求解.

解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①

3D+4E+F=-25.②

令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则

x1+x2=-D,x1x2=F.

∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,

即D2-4F=36.③

由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.

故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.

圆的方程的求法

求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.

跟踪训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是 .

解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心是(-,-),

由题意知,解得D=E=-4,F=-2,

即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.

答案:x2+y2-4x-4y-2=0

例3 已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.

思路分析:设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.

解:设另一端点C的坐标为(x,y).

依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得,

整理,得(x-4)2+(y-2)2=10.

这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,如图所示.

又因为A,B,C为三角形的三个顶点,

所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,

所以点C的横坐标x≠3,且点B,C不能为一直径的两端点,所以

≠4,即点C的横坐标x≠5.

故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5),

即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.

变式：求本例中线段AC中点M的轨迹方程.

解:设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).

∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,

∴(x-4)2+(y-2)2=.

由2x-4≠3,得x≠;由2x-4≠5,得x≠.

∴中点M的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=(x≠,且x≠).

求动点的轨迹方程的常用方法

1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;

2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.

跟踪训练3 两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.

解:以两定点A,B所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,设A(-3,0),B(3,0),M(x,y),

则|MA|2+|MB|2=26,

∴(x+3)2+y2+(x-3)2+y2=26,

化简得M点的轨迹方程为x2+y2=4

跟踪训练4 已知圆(x+1)2+y2=2上动点A,x轴上定点B(2,0),将BA延长到M,使AM=BA,

求动点M的轨迹方程.

解:设A(x1,y1),M(x,y),∵AM=BA,且M在BA的延长线上,

∴A为线段MB的中点,

由中点坐标公式得

∵A在圆上运动,将点A的坐标代入圆的方程,

得+12+2=2,

化简得(x+4)2+y2=8,∴点M的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.

跟踪训练5 已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线l:y=x,设长为 的线段AB在直线l移动,求直线PA与QB的交点M的轨迹方程.

解:∵线段AB在直线y=x上移动,且|AB|=,

∴可设点A(a,a),B(a+1,a+1).

∴直线PA的方程为y-2=(x+2)(a≠-2)①,

直线QB的方程为y-2=x(a≠-1)②,

当a=0时,直线PA与QB平行,两直线无交点,

当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y).由②式可得

a=,将其代入①式,整理,得x2-y2+2x-2y+8=0③,

当a=-2或a=-1时,直线PA和QB的交点也满足③,

∴所求轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0.

通过对圆的标准方程的讨论，引出圆的一般方程，同时类比直线方程的多种形式，帮助学生认识圆的一般方程与二元二次方程的关系。学会联系旧知，制定解决问题的策略。

通过对圆的一般方程的讨论，帮助学生总结圆的一般方程的特点。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

在典例分析和练习中掌握求圆的一般方程的基本方法，即：代数法与几何法。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过与圆相关的轨迹问题的解决，提升学生数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为( )

A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆

C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形

解析:因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程无解,所以该方程不表示任何图形,故选D. 答案:D

2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于( )

解析:由题意知,直线2x-y+3=0过圆心.∵圆心坐标为(k,0),

∴2k+3=0,k=- 答案:B

3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是 .

解析:设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,

即=2,

整理,得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.

答案:x2+y2-8x=0

4.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求过A,B,C的圆的方程.

解:设这个圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组

所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。