二项式系数的性质教学设计

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习二项式系数的性质

本节是在学习了二项式定理的基础上，探究二项式系数的性质。由于二项式系数组成的数列就是一个离散型函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识前后联系，使学生运用利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想进行思考。

课件教案

研究二项式系数这组特定的性质，对巩固二项式定理，建立知识间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要作用，对后续学习微分方程也具有重要地位。

课程目标

学科素养

A.能记住二项式系数的性质,并能灵活运用性质解决相关问题.

B.会用赋值法求二项展开式系数的和,注意区分项的系数和二项式系数.

1.数学抽象：二项式系数的性质

2.逻辑推理：运用函数的观点讨论二项式系数的单调性

3.数学运算：运用二项式性质解决问题

4.几何直观：运用函数图像讨论二项式系数的性质

重点：二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；

难点：理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；

利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.

多媒体

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、温故知新

1．二项式定理

(a＋b)ⁿ＝_________________________ (n∈N^*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)ⁿ的二项展开式，展开式中一共有______项．

(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

Caⁿ＋Caⁿ^－¹b＋Caⁿ^－²b²＋…＋Caⁿ^－^kb^k＋…＋Cbⁿ

n＋1 ；C

2．二项展开式的通项公式

(a＋b)ⁿ展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作T_k_＋₁＝______.

k＋1 ；Caⁿ^－^kb^k

二、新知探究

探究1：计算展开式的二项式系数并填入下表

二项式系数:

通过计算、填表、你发现了什么规律？

n	的展开式的二项式系数
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1

将上表写成如下形式：

思考：通过上表和上图，能发现什么规律？

展开式的二项式系数

我们还可以从函数的角度分析它们。可看成是以为自变量的函数，其定义域是

我们还可以画出它的图像。

例如，当时，

函数()的图像是7个离散的点，如图所示。

1.对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即.

2.增减性与最大值

当k<时,随k的增加而增大;由对称性可知,当k>时,随k的增加而减小.当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值.

探究2.已知 =

3.各二项式系数的和

令x=1 得=

所以，的展开式的各二项式系数之和为

1. 在(a+b)⁸的展开式中,二项式系数最大的项为 ,在(a+b)⁹的展开式中,二项式系数最大的项为 .

解析:因为(a+b)⁸的展开式中有9项,所以中间一项的二项式系数最大,该项为a⁴b⁴=70a⁴b⁴.

因为(a+b)⁹的展开式中有10项,所以中间两项的二项式系数最大,这两项分别为a⁵b⁴=126a⁵b⁴,a⁴b⁵=126a⁴b⁵.

答案:1.70a⁴b⁴ 126a⁵b⁴与126a⁴b⁵

2. A=+…与B=+…的大小关系是( )

A.A>B B.A=B C.A不确定

解析:∵(1+1)ⁿ=+…+=2ⁿ,

(1-1)ⁿ=-…+(-1)ⁿ=0,

∴+…=+…=2^n-1,即A=B.

答案:B

三、典例解析

例3.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

证明:在展开式

=中，

令a=1,b=-1，得

即

因此

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.

二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax+b)ⁿ,(ax²+bx+c)^m(a,b,c∈R,m,n∈N^*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)ⁿ(a,b∈R,n∈N^*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.

(2)一般地,若f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),

奇数项系数之和为a₀+a₂+a₄+…=,

偶数项系数之和为a₁+a₃+a₅+…=.

跟踪训练1. 在(2x-3y)⁹的展开式中,求:

(1)二项式系数之和;

(2)各项系数之和;

(3)所有奇数项系数之和.

解:设(2x-3y)⁹=a₀x⁹+a₁x⁸y+a₂x⁷y²+…+a₉y⁹.

(1)二项式系数之和为+…+=2⁹=512.

(2)各项系数之和为a₀+a₁+a₂+…+a₉,

令x=1,y=1,

所以a₀+a₁+a₂+…+a₉=(2-3)⁹=-1.

(3)令x=1,y=-1,可得

a₀-a₁+a₂-…-a₉=5⁹,

又a₀+a₁+a₂+…+a₉=-1,

将两式相加可得a₀+a₂+a₄+a₆+a₈==976 562,

即所有奇数项系数之和为976 562.

例4.已知(1+2x)ⁿ的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和

系数最大的项.

解:T₆=(2x)⁵,T₇=(2x)⁶,依题意有

2⁵=2⁶,解得n=8.

∴在(1+2x)⁸的展开式中,二项式系数最大的项为

T₅=(2x)⁴=1 120x⁴.

设第k+1项的系数最大,则有

解得5≤k≤6.

∴k=5或k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).

∴系数最大的项为T₆=1 792x⁵,T₇=1 792x⁶.

求二项展开式中系数的最值的方法

(1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为确定二项式系数的最值来解决.

(2)若二项展开式的系数为f(k)=m^g(k)的形式.

如求(a+bx)ⁿ(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设其展开式的各项系数分别为A₁,A₂,…,A_n+1,且第k+1项系数

最大,应解出k,即得系数最大的项.

跟踪训练2.已知的展开式中,只有第6项的二项式系数最大.

(1)求该展开式中所有有理项的个数;

(2)求该展开式中系数最大的项.